Analisi Matematica II

2021-2022

Università di Pisa

Corso di Laurea - Ingegneria dell'Energia



Analisi Matematica II è il primo modulo del corso annuale

717AA - Analisi Matematica II e Calcolo Numerico.

Il modulo Analisi Matematica II ha una durata di 60 ore e si terrà nel primo semestre.

Prima lezione: mercoledì 29 settembre 2021, ore 15:00.

Voto


Il voto finale di Analisi Matematica II e Calcolo Numerico sarà ottenuto come media dei voti dei due moduli Analisi Matematica II e Calcolo Numerico. Solo la media finale potrà essere registrata sul libretto elettronico. Visto che i voti di ogni modulo non vengono registrati, ma vengono conservati in database gestiti in maniera indipendente dai singoli docenti, non possiamo garantire una conservazione di lunga durata. Al momento non è prevista una scadenza netta, ma è fortemente consigliato di sostenere gli esami relativi a entrambi i moduli nel corso dello stesso anno accademico. Per esempio, gli studenti che hanno sostenuto l'esame di Analisi II tra dicembre 2020 e settembre 2021 sono consigliati di sostenere l'esame di Calcolo Numerico tra giugno 2021 e maggio 2022.

Esame


L'esame consiste di una prova scritta e una prova orale. Può accedere all'orale solo chi ha superato la prova scritta dell'appello in corso. Il voto dello scritto è valido solo per l'appello in corso e non può essere conservato. In genere, l'esame orale si tiene la settimana dopo lo scritto.

Orario


Orario delle lezioni:  mercoledì 15:00-17:00 (aula F1), venerdì 08:30-11:30 (aula F1).


Gruppo Teams - 717AA 21/22 ANALISI MATEMATICA II E CALCOLO NUMERICO [IGT-L]

Programma


Capitolo 1. Elementi di topologia.

Lo spazio euclideo. Prodotto scalare e disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Distanza euclidea e disuguaglianza triangolare. Convergenza di successioni e successioni di Cauchy. Insiemi aperti e insiemi chiusi. Insiemi compatti e compatti per successioni. Funzioni continue. Composizione di funzioni continue. Funzioni continue su insiemi compatti. Teorema di Weierstrass. Insiemi connessi per archi. Teorema del valore intermedio.


Capitolo 2. Calcolo differenziale e studio di funzioni di più variabili.

Funzioni derivabili e derivate parziali. Funzioni differenziabili. Esempi e controesempi. Differenziabilità, derivabilità e continuità. Teorema del differenziale. Derivate parziali di ordine superiore - teorema di Schwartz. Composizione di funzioni differenziabili. Formula per le derivate parziali della funzione composta. Matrice Hessiana. Formula di Taylor al secondo ordine. Punti critici. Massimi e minimi relativi e assoluti. Matrici semidefinite positive e matrici semidefinite negative. Matrici definite positive e matrici definite negative. Metodi per determinare se una matrice è definita (o semidefinita) positiva/negativa. Massimi e minimi relativi sul bordo di un insieme regolare. Condizioni necessarie e sufficienti al primo e al secondo ordine. Vettore normale e vettore tangente al bordo di un insieme regolare. Teorema di Dini (detto anche della funzione implicita). Massimi e minimi vincolati. Moltiplicatori di Lagrange. Teorema della funzione inversa.


Principali definizioni e teoremi da sapere per l'esame orale


Capitolo 3. Forme differenziali ed integrali curvilinei.

Forme differenziali: 1-forme, 2-forme e k-forme. Operazioni con le forme differenziali: somma e prodotto con una funzione. Prodotto esterno. Differenziale di una funzione. Derivata esterna di una forma differenziale. Forme chiuse e forme esatte. Le forme esatte sono chiuse. Esempio di una forma chiuse che non è esatta. Integrazione di 1-forme su curve. Curve chiuse, semplici, regolari a tratti. Concatenamento e curve opposte. Integrale di 1-forme su curve. Integrazione di forme esatte su curve chiuse. Teorema della derivazione sotto il segno dell'integrale. Lemma di Poincaré sui rettangoli. Forme chiuse e forme esatte in aperti stellati. Domini diffeomorfi e forme differenziali. Insiemi semplicemente connessi. Integrazione di funzioni su curve. Integrale di una funzione continua su una curva. Integrazione su curve equivalenti, opposte e concatenate. Lunghezza di una curva.


Capitolo 4. Integrazione.

Integrale di Riemann su un dominio rettangolare. Partizioni e somme di Riemann superiore e inferiore. Integrale di Riemann superiore e inferiore. Integrabilità delle funzioni continue su domini rettangolari. Teorema di Fubini su domini rettangolari. Definizione di integrale su un insieme limitato. Domini normali. Integrabilità di una funzione continua su un dominio normale. Teorema di Fubini in domini normali. Formule di Gauss-Green. Teorema della divergenza. Orientazione in dimensione due. Curve che parametrizzano il bordo di un insieme in senso antiorario. Formula di Stokes. Cambio delle variabili in dimensione due. Integrazione in coordinate polari nel piano. Integrazione su superfici parametriche. Formula di Stokes per le superfici. Prodotto vettoriale in dimensione tre. Divergenza e rotore di un campo in dimensione tre. Integrazione di funzioni su superfici. Teorema del rotore.

Dispense


Capitolo 1. Parte 1. Lo spazio euclideo


Capitolo 1. Parte 2. Aperti e chiusi


Capitolo 1. Parte 3. Insiemi compatti


Capitolo 1. Parte 4. Insiemi connessi per archi


Capitolo 1. Parte 5. Insiemi connessi e derivate parziali


Capitolo 2. Parte 1. Limiti di funzioni


Capitolo 2. Parte 2. Convergenza uniforme e interpretazione geometrica della differenziabilità


Capitolo 2. Parte 3. Funzioni differenziabili. Definizione, esempi e prime proprietà


Capitolo 2. Parte 4. Teorema del differenziale totale e differenziabilità lungo cammini


Capitolo 2. Parte 5. Derivate parziali successive e sviluppo di Taylor al secondo ordine.


Capitolo 2. Parte 6. Matrici simmetriche


Capitolo 2. Parte 7. Massimi e minimi relativi


Capitolo 2. Parte 8. Massimi e minimi assoluti


Capitolo 2. Parte 9. Massimi e minimi su insiemi compatti


Capitolo 2. Parte 10. Moltiplicatori di Lagrange


Capitolo 3. Parte 1. Applicazioni multilineari alternanti e forme differenziali


Capitolo 3. Parte 2. Forme chiuse e forme esatte


Capitolo 3. Parte 3. Le forme esatte sono chiuse


Capitolo 3. Parte 4. Esercizi sulle forme differenziali


Capitolo 3. Parte 5. Curve


Capitolo 3. Parte 6. Integrazione di 1-forme su curve


Capitolo 3. Parte 7. Derivazione sotto il segno di integrale


Capitolo 3. Parte 8. Forme chiuse su rettangoli


Capitolo 3. Parte 9. Forme chiuse in aperti stellati


Capitolo 3. Parte 10. Esempio di una forma chiusa, ma non esatta

Registro
delle lezioni


Lezione 1 - mercoledì 10/10. Punti critici. Massimi e minimi relativi e assoluti. Punti critici. Punti di sella. Matrice Hessiana. Matrici simmetriche semidefinite positive, semidefinite negative, definite positive, definite negative, indefinite. Autovalori, autovettori, traccia e determinante di una matrice simmetrica. Metodi per determinare il carattere di una matrice simmetrica. Condizioni necessarie per l'esistenza di massimi e minimi relativi.
Dispense: Capitolo 2. Parte 6, Parte 7. Appunti delle lezioni del 10/10 e 11/10 sono disponibili (in un unico file) sul gruppo teams del corso.


Lezione 2 - venerdì 12/10. Punti critici. Condizioni sufficienti per l'esistenza di punti di sella (in dimensione due). Esercizi ed esempi. Massimi e minimi assoluti di funzioni definite su tutto lo spazio. Esercizio.
Dispense: Capitolo 2. Parte 7, Parte 8.


Lezione 3 - mercoledì 17/10. Limsup e liminf di successioni di una variabile. Massimi e minimi assoluti di funzioni definite su tutto lo spazio. Esercizi ed esempi. Massimi e minimi assoluti di funzioni definite su compatti. Esempio: il caso di una funzione definita sulla palla chiusa in dimensione due.
Dispense: Capitolo 2. Parte 8, Parte 9.


Lezione 4 - venerdì 19/10. Massimi e minimi assoluti di funzioni definite su compatti: massimi e minimi su insiemi definiti tramite disuguaglianze. Moltiplicatori di Lagrange. Esercizi ed esempi. Dimostrazione del teorema di Lagrange in dimensione due.
Dispense: Capitolo 2. Parte 9. Parte 10 (la sezione sui moltiplicatori di Lagrange).


Lezione 5 - mercoledì 24/10. Applicazioni multilineari alternanti. Forme differenziali su domini aperti. Prodotto esterno. Differenziale e derivata esterna. Esempi. Forme chiuse e forme esatte: definizioni. Campi vettoriali e forme differenziali. Le forme esatte sono chiuse.
Dispense: Capitolo 3. Parte 1, Parte 2, Parte 3 (esercizi in Parte 4).


Lezione 6 - venerdì 26/10. Curve, vettore tangente, curve chiuse, curve equivalenti, concatenamento di curve. Integrazione di 1-forme su curve. Integrazione di 1-forme esatte su curve chiuse. Esempio di una forma chiusa, ma non esatta. Teorema di Cantor (le funzioni continue su un compatto sono uniformemente continue). Derivazione sotto il segno di integrale. Lemma di Poincaré (su un rettangolo le forme chiuse sono esatte). Aperti stellati - definizione. Teorema: Su un aperto stellato le forme chiuse sono esatte.
Dispense: Capitolo 3. Parte 5, Parte 6, Parte 7, Parte 8, Parte 9, Parte 10.

Calendario accademico

Orario delle lezioni

Titolare del corso: Bozhidar Velichkov

bozhidar.velichkov[chiocciola]unipi.it