Lezione 1 - mercoledì 10/11. Punti critici.
Massimi e minimi relativi e assoluti. Punti critici. Punti di sella. Matrice Hessiana.
Matrici simmetriche semidefinite positive, semidefinite negative,
definite positive, definite negative, indefinite.
Autovalori, autovettori, traccia e determinante di una matrice simmetrica.
Metodi per determinare il carattere di una matrice simmetrica.
Condizioni necessarie per l'esistenza di massimi e minimi relativi.
Dispense: Capitolo 2. Parte 6, Parte 7. Appunti delle lezioni del 10/10 e 11/10 sono disponibili (in un unico file) sul gruppo teams del corso.
Lezione 2 - venerdì 12/11. Punti critici.
Condizioni sufficienti per l'esistenza di punti di sella (in dimensione due).
Esercizi ed esempi. Massimi e minimi assoluti di funzioni definite su tutto lo spazio.
Esercizio.
Dispense: Capitolo 2. Parte 7, Parte 8.
Lezione 3 - mercoledì 17/11.
Limsup e liminf di successioni di una variabile. Massimi e minimi assoluti di funzioni definite su tutto lo spazio.
Esercizi ed esempi. Massimi e minimi assoluti di funzioni definite su compatti.
Esempio: il caso di una funzione definita sulla palla chiusa in dimensione due.
Dispense: Capitolo 2. Parte 8, Parte 9.
Lezione 4 - venerdì 19/11.
Massimi e minimi assoluti di funzioni definite su compatti: massimi e minimi su insiemi
definiti tramite disuguaglianze. Moltiplicatori di Lagrange. Esercizi ed esempi.
Dimostrazione del teorema di Lagrange in dimensione due.
Dispense: Capitolo 2. Parte 9. Parte 10 (la sezione sui moltiplicatori di Lagrange).
Lezione 5 - mercoledì 24/11.
Applicazioni multilineari alternanti.
Forme differenziali su domini aperti.
Prodotto esterno. Differenziale e derivata esterna. Esempi.
Forme chiuse e forme esatte: definizioni.
Campi vettoriali e forme differenziali.
Le forme esatte sono chiuse.
Dispense: Capitolo 3. Parte 1, Parte 2, Parte 3 (esercizi in Parte 4).
Lezione 6 - venerdì 26/11.
Curve, vettore tangente, curve chiuse, curve equivalenti, concatenamento di curve.
Integrazione di 1-forme su curve. Integrazione di 1-forme esatte su curve chiuse.
Esempio di una forma chiusa, ma non esatta.
Teorema di Cantor (le funzioni continue su un compatto sono uniformemente continue).
Derivazione sotto il segno di integrale.
Lemma di Poincaré (su un rettangolo le forme chiuse sono esatte).
Aperti stellati - definizione.
Teorema: Su un aperto stellato le forme chiuse sono esatte.
Dispense: Capitolo 3. Parte 5, Parte 6, Parte 7, Parte 8, Parte 9, Parte 10.
Lezione 7 - mercoledì 1/12.
Funzioni integrabili ed integrale secondo Riemann. Integrazione su rettangoli.
Partizioni in dimensione due. Integrabilità delle funzioni continue.
Integrazione di funzioni continue su domini normali.
Teorema di Fubini (senza dimostrazione). Esempi.
Dispense: Capitolo 4. Parte 1, Parte 2, Parte 3, Parte 3(2), Parte 4, Parte 5.
Lezione 8 - venerdì 3/12.
Integrazione di 1-forme sul bordo di un dominio normale. Formula di Gauss-Green.
Integrazione di funzioni su curve. Integrazione di funzioni sul bordo di un dominio normale.
Teorema della divergenza.
Dispense: Capitolo 4. Parte 6, Parte 7, Parte 8, Parte 9, Parte 10, Parte 11.
Lezione 9 - giovedì 9/12.
Formula di Stokes in dimensione due. L'area di un disco di raggio R.
Esercizi sul teorema della divergenza.
Dispense: Capitolo 4. Parte 10, Parte 11, Parte 12.
Lezione 10 - venerdì 10/12.
Esercizi sul teorema della divergenza e la formula di Stokes.
Integrazione in coordinate polari.
Il volume di una sfera in R3. Integrali impropri.
Calcolo dell'integrale della Gaussiana.
Dispense: Capitolo 4. Parte 13, Parte 14.
Lezione 11 - mercoledì 15/12.
Applicazioni della formula del cambiamento delle variabili: l'area di un'ellisse,
integrazione di funzioni dispari, rotazione di un insieme. Area di un triangolo.
Richiami sulle funzioni differenziabili a valori vettoriali; matrice jacobiana.
Superfici parametriche. Grafici di funzioni di due variabili. Coordinate sferiche.
Sostegno di una superficie parametrica. L'area di un paraboloide.
Dispense: Capitolo 4. Parte 15, Parte 16, Parte 17.
Lezione 12 - venerdì 17/12.
La sfera come grafico. Calcolo dell'area della sfera in coordinate cartesiane.
Calcolo dell'area della sfera in coordinate sferiche.
Volume di una palla in R3 come integrale delle aree delle sfere.
Area di un triangolo in R3. Interpretazione geometrica della formula dell'area di una superficie.
Formula di Stokes e teorema del rotore su superfici (senza dimostrazione).
Formula della divergenza in dimensione tre (senza dimostrazione).
o-piccolo ed O-grande per funzioni di due variabili: esercizi ed esempi.
Dispense: Capitolo 4. Parte 17, Parte 18.