L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale. Può accedere all'orale solo chi ha superato la prova scritta dell'appello in corso.
Il voto dello scritto è valido solo per l'appello in corso e non può essere conservato.
In genere, l'esame orale si tiene la settimana dopo lo scritto. Se il regolamento lo prevede, agli studenti che non potranno partecipare all'esame in presenza per motivi legati al covid sarà garantita anche la modalità a distanza, ma con due particolarità:
1) La modalità dello scritto a distanza potrebbe cambiare in funzione del numero degli studenti iscritti (ovviamente il programma rimane lo stesso).
2) La possibilità di verbalizzare il voto dello scritto senza fare l'orale è un'opzione aggiuntiva che riguarda solo gli studenti che fanno lo scritto in presenza.
Prossimi appelli:
- sabato 02/04/2022 (esame scritto);
- martedì 15/02/2022 (14:00-19:00, Aula F3, esame scritto) + giovedì 24/02/2022 (8:30-19:00, Aula F4, esame orale) ;
- martedì 25/01/2022 (14:00-19:00, Aula F3, esame scritto) + giovedì 03/02/2022 (8:30-19:00, Aula F4, esame orale) ;
- lunedì 10/01/2022 (14:00-19:00, Aula F3, esame scritto) + mercoledì 19/01/2022 (8:30-19:00, Aula F4, esame orale) .
Capitolo 1. Elementi di topologia.
Lo spazio euclideo.
Prodotto scalare e disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.
Distanza euclidea e disuguaglianza triangolare.
Convergenza di successioni e successioni di Cauchy.
Insiemi aperti e insiemi chiusi.
Insiemi compatti e compatti per successioni.
Funzioni continue.
Composizione di funzioni continue.
Funzioni continue su insiemi compatti.
Teorema di Weierstrass.
Insiemi connessi per archi.
Teorema del valore intermedio.
Capitolo 2. Calcolo differenziale e studio di funzioni di più variabili.
Funzioni derivabili e derivate parziali.
Funzioni differenziabili. Esempi e controesempi.
Differenziabilità, derivabilità e continuità.
Teorema del differenziale.
Derivate parziali di ordine superiore - teorema di Schwarz.
Composizione di funzioni differenziabili.
Formula per le derivate parziali della funzione composta.
Matrice Hessiana.
Formula di Taylor al secondo ordine.
Punti critici.
Massimi e minimi relativi e assoluti.
Matrici semidefinite positive e matrici semidefinite negative.
Matrici definite positive e matrici definite negative.
Metodi per determinare se una matrice è definita (o semidefinita) positiva/negativa.
Massimi e minimi relativi sul bordo di un insieme regolare.
Condizioni necessarie e sufficienti al primo e al secondo ordine.
Vettore normale e vettore tangente al bordo di un insieme regolare.
Teorema di Dini (detto anche della funzione implicita).
Massimi e minimi vincolati.
Moltiplicatori di Lagrange.
Teorema della funzione inversa.
Capitolo 3. Forme differenziali ed integrali curvilinei.
Forme differenziali: 1-forme, 2-forme e k-forme.
Operazioni con le forme differenziali: somma e prodotto con una funzione.
Prodotto esterno.
Differenziale di una funzione.
Derivata esterna di una forma differenziale.
Forme chiuse e forme esatte.
Le forme esatte sono chiuse.
Esempio di una forma chiuse che non è esatta.
Integrazione di 1-forme su curve.
Curve chiuse, semplici, regolari a tratti.
Concatenamento e curve opposte.
Integrale di 1-forme su curve.
Integrazione di forme esatte su curve chiuse.
Teorema della derivazione sotto il segno dell'integrale.
Lemma di Poincaré sui rettangoli.
Forme chiuse e forme esatte in aperti stellati.
Domini diffeomorfi e forme differenziali.
Insiemi semplicemente connessi.
Integrazione di funzioni su curve.
Integrale di una funzione continua su una curva.
Integrazione su curve equivalenti, opposte e concatenate.
Lunghezza di una curva.
Capitolo 4. Integrazione.
Integrale di Riemann su un dominio rettangolare.
Partizioni e somme di Riemann superiore e inferiore.
Integrale di Riemann superiore e inferiore.
Integrabilità delle funzioni continue su domini rettangolari.
Teorema di Fubini su domini rettangolari.
Definizione di integrale su un insieme limitato.
Domini normali.
Integrabilità di una funzione continua su un dominio normale.
Teorema di Fubini in domini normali.
Formule di Gauss-Green.
Teorema della divergenza.
Orientazione in dimensione due.
Curve che parametrizzano il bordo di un insieme in senso antiorario.
Formula di Stokes.
Cambio delle variabili in dimensione due.
Integrazione in coordinate polari nel piano.
Integrazione su superfici parametriche.
Formula di Stokes per le superfici.
Prodotto vettoriale in dimensione tre.
Divergenza e rotore di un campo in dimensione tre.
Integrazione di funzioni su superfici.
Teorema del rotore.
Lezione 1 - mercoledì 10/11. Punti critici.
Massimi e minimi relativi e assoluti. Punti critici. Punti di sella. Matrice Hessiana.
Matrici simmetriche semidefinite positive, semidefinite negative,
definite positive, definite negative, indefinite.
Autovalori, autovettori, traccia e determinante di una matrice simmetrica.
Metodi per determinare il carattere di una matrice simmetrica.
Condizioni necessarie per l'esistenza di massimi e minimi relativi.
Dispense: Capitolo 2. Parte 6, Parte 7. Appunti delle lezioni del 10/10 e 11/10 sono disponibili (in un unico file) sul gruppo teams del corso.
Lezione 2 - venerdì 12/11. Punti critici.
Condizioni sufficienti per l'esistenza di punti di sella (in dimensione due).
Esercizi ed esempi. Massimi e minimi assoluti di funzioni definite su tutto lo spazio.
Esercizio.
Dispense: Capitolo 2. Parte 7, Parte 8.
Lezione 3 - mercoledì 17/11.
Limsup e liminf di successioni di una variabile. Massimi e minimi assoluti di funzioni definite su tutto lo spazio.
Esercizi ed esempi. Massimi e minimi assoluti di funzioni definite su compatti.
Esempio: il caso di una funzione definita sulla palla chiusa in dimensione due.
Dispense: Capitolo 2. Parte 8, Parte 9.
Lezione 4 - venerdì 19/11.
Massimi e minimi assoluti di funzioni definite su compatti: massimi e minimi su insiemi
definiti tramite disuguaglianze. Moltiplicatori di Lagrange. Esercizi ed esempi.
Dimostrazione del teorema di Lagrange in dimensione due.
Dispense: Capitolo 2. Parte 9. Parte 10 (la sezione sui moltiplicatori di Lagrange).
Lezione 5 - mercoledì 24/11.
Applicazioni multilineari alternanti.
Forme differenziali su domini aperti.
Prodotto esterno. Differenziale e derivata esterna. Esempi.
Forme chiuse e forme esatte: definizioni.
Campi vettoriali e forme differenziali.
Le forme esatte sono chiuse.
Dispense: Capitolo 3. Parte 1, Parte 2, Parte 3 (esercizi in Parte 4).
Lezione 6 - venerdì 26/11.
Curve, vettore tangente, curve chiuse, curve equivalenti, concatenamento di curve.
Integrazione di 1-forme su curve. Integrazione di 1-forme esatte su curve chiuse.
Esempio di una forma chiusa, ma non esatta.
Teorema di Cantor (le funzioni continue su un compatto sono uniformemente continue).
Derivazione sotto il segno di integrale.
Lemma di Poincaré (su un rettangolo le forme chiuse sono esatte).
Aperti stellati - definizione.
Teorema: Su un aperto stellato le forme chiuse sono esatte.
Dispense: Capitolo 3. Parte 5, Parte 6, Parte 7, Parte 8, Parte 9, Parte 10.
Lezione 7 - mercoledì 1/12.
Funzioni integrabili ed integrale secondo Riemann. Integrazione su rettangoli.
Partizioni in dimensione due. Integrabilità delle funzioni continue.
Integrazione di funzioni continue su domini normali.
Teorema di Fubini (senza dimostrazione). Esempi.
Dispense: Capitolo 4. Parte 1, Parte 2, Parte 3, Parte 3(2), Parte 4, Parte 5.
Lezione 8 - venerdì 3/12.
Integrazione di 1-forme sul bordo di un dominio normale. Formula di Gauss-Green.
Integrazione di funzioni su curve. Integrazione di funzioni sul bordo di un dominio normale.
Teorema della divergenza.
Dispense: Capitolo 4. Parte 6, Parte 7, Parte 8, Parte 9, Parte 10, Parte 11.
Lezione 9 - giovedì 9/12.
Formula di Stokes in dimensione due. L'area di un disco di raggio R.
Esercizi sul teorema della divergenza.
Dispense: Capitolo 4. Parte 10, Parte 11, Parte 12.
Lezione 10 - venerdì 10/12.
Esercizi sul teorema della divergenza e la formula di Stokes.
Integrazione in coordinate polari.
Il volume di una sfera in R3. Integrali impropri.
Calcolo dell'integrale della Gaussiana.
Dispense: Capitolo 4. Parte 13, Parte 14.
Lezione 11 - mercoledì 15/12.
Applicazioni della formula del cambiamento delle variabili: l'area di un'ellisse,
integrazione di funzioni dispari, rotazione di un insieme. Area di un triangolo.
Richiami sulle funzioni differenziabili a valori vettoriali; matrice jacobiana.
Superfici parametriche. Grafici di funzioni di due variabili. Coordinate sferiche.
Sostegno di una superficie parametrica. L'area di un paraboloide.
Dispense: Capitolo 4. Parte 15, Parte 16, Parte 17.
Lezione 12 - venerdì 17/12.
La sfera come grafico. Calcolo dell'area della sfera in coordinate cartesiane.
Calcolo dell'area della sfera in coordinate sferiche.
Volume di una palla in R3 come integrale delle aree delle sfere.
Area di un triangolo in R3. Interpretazione geometrica della formula dell'area di una superficie.
Formula di Stokes e teorema del rotore su superfici (senza dimostrazione).
Formula della divergenza in dimensione tre (senza dimostrazione).
o-piccolo ed O-grande per funzioni di due variabili: esercizi ed esempi.
Dispense: Capitolo 4. Parte 17, Parte 18.