XIII. A vertice dati trianguli ad partes cruris, reliquo non minoris, ad basim extra productam: lineam ducere, quae datam habeat rationem ad mediam proportionalem inter basi adiectam, et eam, quae ex basi, et adiecta constat, oportet autem datam rationem esse maioris ad minus.

Sit datum triangulum abg; data ratio, quae de ad dz, oportet a vertice ad partes lateris bg, non minorem ipso ab, ducere lineam ut proponitur. Est autem, necessarium ut ed maior sit quam dz. secus enim problema non esset possibile, per praecedentem. Itaque sit per 9. 6. Euclidis, sicut de ad dz, sic dz ad dh; ut ed, dz, dh sint continue proportionales; et descripto per 5. 4. circum abg triangulum, circulo abk, sit per 12. 6. sicut eh ad hd, sic bt ad tg; et per punctum t agatur [S:179]

ipsi ag aequidistans tk; quae secet periphaeriam circuli in puncto k; et coniuncta, bk, producatur, donec ipsi ag productae coincidat apud l. Dico igitur quod bl est recta, quam ductum iri volumus. Namque a puncto l, per 16. 3, ducatur lm circulum tangens apud m. Eritque per 35. 3. et 15. 6. Euclidis, lm media proportionalis inter gl, ga; et inter kl, lb. Et quoniam per 2. 6. sicut bk ad hd. Et coniunctim sicut ed ad dh, sic bl ad lk; et sic quadratum bl ad quadratum lm. Igitur sicut quadratum dz. Quare, et sicut ed ad dz, sic bl ad lm, quae media proportionalis est inter al, lg. Igitur bl est linea, quae ducenda proponitur.

Scholium.

Unde si data ratio fuisset, quae ed, ad dh, et oportuisset ducere a vertice b lineam bl, cuius quadratum ad rectangulum alg foret, sicut ed ad dh,iam et id ipsum factum esset, fuit enim sicut ed ad dh, sic quadratum bl ad quadratum lm; hoc est rectangulum alg. Et oportet ut ed sit maior quam dh; sicut et ipsa ed ipsa dz maiorem esse necesse fuerat.