[A:46v] [S:62] 20^a Si unam contrapositarum ad coniunctionem linea tangat: et per centrum ipsarum ducantur duae linae, quarum haec quidem per tactum: illa vero penes tangentem usque quo coincidat uni deinceps sectionum; tangens sectionem apud coincidentem linea aequidistans erit ductae per tactum et centrum. Et ipsae per centrum tactusque iam ductae, coniugatae diametri contapositarum erunt.

Sint ad coniunctionem contrapositae a b g d. // Quarum diametri ab gd. // Centrum e. // Linea kz tangens sectionem a in puncto k. // Ipsa kex ducta per centrum ac tantum k quae, per 29^am praecedentis, secabit ipsas a b sectiones apud k x. // Ipsa vero oeh ducta per centrum penes ipsam kz et secans ipsas sectiones g d per 2^am huius, quandoquidem secat angulum non tangentium, quas per 3^am huius, secat ipsa kz tangens, ipsi iam oeh parallelus. // Item ht tangens sectionem g apud h ubi oeh coincidit sectioni.

// Tunc dico iam quod

th aequidistat ipsi kex. // Quodque ho hx sunt coniugatae diametri sectionum.

// Sint enim ordinate ductae kc hl grp. // Et rectae diametri¹⁶² ad quas¹⁶³ possunt applicatae sint am gn.

// Et, quoniam per ultimam praemissi libri, ba am sicut¹⁶⁴ ng gd. // Ac per 37^am eiusdem, sicut ba am sic ecz ck itemque ng gd sicut hl elt. // Ideo, sicut hl elt sic ecz ck.

Sed ratio ecz ck componitur ex rationibus ec ck. cz ck.

Itemque

ratio hl elt componitur ex rationibus hl le. hl lt.

Estque sicut cz ck sic hl ad le propter similitudinem czk hle.

// Igitur superest ratio ec ck aequalis rationi hl lt. // Cumque sint anguli eck hlt aequales propter¹⁶⁵ aequidistantiam reciprocam ordinate ductarum ck lh unius ad diametrum alterius.

// Iam per 6^am Sexti Euclidis eck hlt sunt invicem aequiangula: et ideo angulus kec aequalis angulo lht.

// Sed totus angulus ceh aequalis toti angulo lhe coalterno. // Igitur reliquus¹⁶⁶ keh aequalis reliquo angulo the.

// Quare per 27^am primi Euclidis lineae ke [A:47r] ht sunt aequidistantes: quod est primum ex propositis.

// Deinde sit sicut

ph hr sic th s. // Eritque ex 50^a praemissi, linea s dimidium eius, ad quam possunt ordinate ductae ad diametrum ho in ipsis sectionibus g d.

// Et quoniam sectionum a b secunda diameter est gd ideo ex 38^a praecedentis e kc¹⁶⁷ kc aequale¹⁶⁸ ge nam ipsi ce parallelus ducta per k abscindit ex ipsa eg aequale ipsi ck.

// Quare per 16^am Sexti Euclidis e ge ck sunt continuae proportionales.

// Et ideo, per 17^am eiusdem. Sicut e ck sic e eg.

// Sed propter ez kcz similitudinem sicut e ck sic z zk et per primam Sexti, sic ez ezk.

// Igitur sicut ez ezk sic e eg.

// Sed, per 18^am 6ⁱ sicut e eg sic ez egp vel hte per [[additam]]¹⁶⁹ 42^ae praemissi.

// Ut ergo ez ezk sic ez hte.

// Quamobrem ezk hte sunt aequalia invicem.

// Verum ipsi anguli the ekz aequales¹⁷⁰, propter aequidistantiam linearum eos continentium. // Igitur, per 14^am Sexti Euclidis reciproca sunt latera aequos angulos continentia hoc est ht ek sicut kz he.

// Et ideo, per 15^am eiusdem, the aequale ^lo171 ekz.

// Et, quoniam sicut s th sic rh hp ut autem rh hp sic ek kz propter aequidistantiam linearum.

Ideo sic s th sic ek kz.¹⁷²

// Sed per primam Sexti¹⁷³ , sicut s th sic¹⁷⁴ s eh the itemque sicut ek kz sic ek ekz.

// Igitur sicut ek ekz sic s eh the.

// Et permutatim, sicut ek s eh sic ekz the.

// Fuit autem aequale ekz ^lo the [S:63] ergo et ek aequale ¹⁷⁵ s eh .

// Verum s eh¹⁷⁶ est iam quadrans speciei, quae adiacet diametro ho nam he dimidium¹⁷⁷ ipsius ho et ipsa s dimidium eius, ad quam possunt ductae. Itemque ek quadrans ^ti kx quandoquidem ek dimidium¹⁷⁸ ipsius kx.

// Igitur kx aequale¹⁷⁹ speciei, quae adiacet diametro ho.

// Et similiter ostendam quod vicissim ipsa ho potest speciem adiacentem diametro kx.

// Quare per conversionem ultimae primi conicorum ipsae kx ho sunt comiugatae diametri contrapositarum sectionum ad coniunctionem quae sunt a b g d.

// Praeterea, quoniam utraque harum diametrorum incidit per contactum tangentis penes alteram ductae¹⁸⁰ sibique ordinatae: ideo utraque ordinatae ducta est ad alteram: quarum utraque secat parallelos alterius bifariam, per 16^am praemissi, si pa[A:47v]ralleli sint extra contrapositas diametri secantis: si intra per 47^am eiusdem.

// Rursus ergo per diffinitionem kx ho sunt coniugatae diametri.

// Id quod iam restabat demonstrandum.