32^a Si coni sectionis per summitatem linea ordinate applicata ducatur; tanget sectionem: et in eum locum, qui est inter coni sectionem et lineam, alia linea non intercidit³⁹⁵ .

Sit coni sectio, cuius diameter ab. // Et ad diametrum ordinate ducta ag. // Quae per 17^am huius tanget sectionem.

// Dico iam quod inter ag lineam et sectionem nulla linea intercidet³⁹⁶. //

// Cadat enim inter eas, si possibile est da. // Et a contingenti puncto d ordinate agatur ipsa dhe.

// Sitque az ad quam possunt ordinate ductae.

// Eritque primum in parabola [A:17r] ³⁹⁷ de ea³⁹⁸ maius³⁹⁹ quam he sive eaz ea.

// Sed per primam 6ⁱ Euclidis eaz ea sicut⁴⁰⁰ za ae.

// Igitur de ea maius⁴⁰¹, quam za ae.

// Sit ergo sicut de ea sic za at.

// Et ducatur tlc penes ipsam de.

// [S:26] Eritque propter similitudinem aed atc sicut de ea sic ct ta et per primam 6ⁱ Euclidis sicut za at sic zat at.

// Quare sicut ct ta sic zat at.

// Sed per 11^am huius, lt aequale⁴⁰² zat. // Igitur sicut ct ta sic lt ta.

// Ergo per 9^am 5ⁱ Euclidis, ct lt aequalia⁴⁰³. // Quod est absurdum.

In hyperbola vero, ellipsi⁴⁰⁴, circulove agatur em penes ipsam az et occurrat ipsi bz apud m.

// Eritque per 12^am vel 13^am he aequale aem.

// Sit ergo aen aequale ^to de. // Et coniungatur an secans ipsam bz apud x. // Et agatur xt penes az. // Et tlc penes de. // Eruntque, per 16^am 6ⁱ ne de ea in proportione continua.

// Quare, per 17^am 6ⁱ sicut ne ea vel xt ta sic de ea et ct ta. // Quare xt tc ta sunt continue proportionales.

// Et ideo, per 16^am 6ⁱ xta quod est⁴⁰⁵ per 12^am vel 13^am lt aequale est tc. // Quod est absurdum.

// Igitur inter ag lineam et sectionem nulla linea intercidet⁴⁰⁶. // Quod est demonstrandum.

// Scholium

Sed quid, si ad non cadat inter ag et sectionem, scilicet secet, sicut re vera secat, ipsam ah sectionem? Sequeturne, veritate admissa, eadem absurditas [A:17v] ut scilicet tl tc sint aequales? Dicendum quod utrumque punctorum c l cadit in unum idemque punctum in quo videlicet ad linea secat sectionem. Atque ita tl tc sunc una et eadem linea. Quare nec absurditas locum habet. // Immo et hac via⁴⁰⁷ confutari potest adversarius⁴⁰⁸: sic enim ostenditur quod ipsa tl occurrit ipsi ad in illo eodem puncto in quo ad secat periferiam sectionis: sed cum ipsa ad et in alio puncto scilicet a incidat periferiae⁴⁰⁹; iam per 10^am huius secabit sectionem: et perinde non cadet inter sectionem et lineam ag et similiter ostendetur, quod nulla linea inter tangentem lineam, et periferiam sectionis intercedet. Sicut proponitur demonstrandum.

Quae apud extremum diametri tangit sectionem, ordinate ducta est.

Haec est conversa praesentis propositionis. // Sit enim coni sectio ab cuius diameter bg. // Tangens db. //

// Dico iam quod db ordinate ducta est ad diametrum.

// Secus enim

sit ordinate ducta eb. // Igitur per 17^am huius eb continget sectionem: cadet enim extra periferiam.

// Quare inter tangentem db et periferiam ab intercedet linea eb. // Quod per praesentem est impossibile.

// Itaque non alia, quam db erit ordinate ducta per b punctum. // Quod erat demonstrandum.