[A:48v] p^a

87 Omnis radix ducta in imparem collateralem producit hexagonum primum collateralem²³.

88 Hexagoni numeri primi fiunt ex collaterali duploque praecedentis ^li: igitur fiunt ex collaterali cum parte altera longiori collaterali. Verum radix collateralis in se ducta facit quadratum: in radicem vero praecedentem ducta facit parte altera longiorem: igitur radix collateralis ducta (per primam 2ⁱ) in aggregatum suimet cum radice praecedenti, hoc est ducta in imparem collateralem (quod est dictum aggregatum) producit aggregatum ex et ex parte altera longiore: et ideo producit hexagonum primum collateralem.

89 Quod Motucae nos demonstraturum promiseramus.

90 Catanae primo februarii 1555.

91 Nota quod praecedens propositio ostensa fuit in primo quaternione.

2^a

92 Si ex radicibus ab unitate dispositis secundum naturalem processum sumantur tres, vel quinque, vel septem, vel sub quovis impari numero ab ipsa unitate continuati numeri: tunc illorum aggregatum aequale erit ei, qui fiet ex ductu medii in postremum²⁴.

93 Capiantur exempli gratia 1 2 3 4 5 6 7 numeri qui cum sint septem, eorum medius erit quartus scilicet 4. Dico igitur quod horum septem numerorum aggregatum aequum est ei, qui fit ex multiplicatione medii scilicet 4 in postremum scilicet 7. Quod sic patet. Associentur propositis numeris totidem singuli singulis aequales, sed ordine converso dispositi numeri.

94

1 2 3 4 5 6 7 7 6 5 4 3 2 1

Sic fiet, ut crementa decrementis respondentia faciant combinationum aequalitatem: binique medii scilicet 4 et 4 sint aequales. Quare congeries totalis amborum ordinum erit planus numerus, qui fit ex multiplicatione octonarii in septenarium. Igitur et summa unius ordinis, quae dimidium est totalis, producetur ex 4 in septenarium: hoc est ex medio numerorum in postremum: et hoc est, quod demonstrandum proponitur.

3^a

95 Omnis radix media inter unitatem et imparem multiplicata in talem imparem producit triangulum imparis eiusdem collateralem.

96 Capiantur, sicut in praecedenti, quotvis imparis multitudinis radices ab unitate continuatae 1 2 3 4 5 6 7. Aio quod radix aequaliter remota ab unitate et impari [A:49r] sequenti ut 2 qui aeque distat ab 1 et a 3 multiplicata in 3 producit ^lum collateralem ipsius 3.

97 Nam per praecedentem 2 qui medius est ipsorum 1 2 3 trium radicum, ductus in postremum producit aggregatum ipsorum trium. Sed tale aggregatum est per diffinitionem ^lus collateralis postremae radicis scilicet 3. Igitur 2 ductus in 3 producit 6^{25 lum} collateralem ipsius imparis 3.

98 Item 3 radix aeque distans ab unitate et a 5, ducta in 5 producit 15 ^lum collateralem quinarii: quia scilicet, per praecedentem procreat aggregatum ex ipsis 1 2 3 4 5 quod est ipse ^lus.

99 Adhuc 4 radix aeque remota ab unitate et a 7, multiplicata in 7 ipsum generat 28 ^lum scilicet collateralem ipsius septenarii: quandoquidem per praecedentem, producit aggregatum ex ipsis 1 2 3 4 5 6 7 quod est ipse ^lus. Et sic deinceps, arguendo per praecedentem et per diffinitionem ^li confirmatur²⁶ propositum.

4^a

100 Hexagoni primi numeri ab unitate per ordinem continuati sunt trianguli primi locorum imparium

101 Nam, per primam harum, radices singulae in singulos impares multiplicatae producunt per ordinem singulos hexagonos primos. Per praecedentem vero, radices singulae in singulos item impares ductae proferunt triangulos imparium collaterales per ordinem. Igitur trianguli imparium locorum sunt et hexagoni per ordinem continuati: sicut demonstrandum proponitur.

<Corollarium>

102 Manifestum est igitur quod omnis hexagonus primus numerus est et triangulus primus numerus.

5^a

103 Omnis numerus perfectus est hexagonus primus.

104 Hoc, per primam harum propositionum ostenditur: sicut in primo quaternione Arithmeticae nostrae fuit notatum.

6^a

105 Omnis numerus perfectus est triangulus primus.

106 Nam, per praecedentem, omnis numerus perfectus est hexagonus primus: ac per corollarium antepraemissae, omnis hexagonus primus est triangulus primus: igitur omnis numerus perfectus est ^lus primus, sicut propositio concludit.

107 Et haec satis. Ad 3^am iam pulsatam noctis horam diei quam sequitur dies 16 ianuarii anni a principio sextae aetatis 1557.