59 ¹³ [A:48r] * Postrema speculatio.¹⁴

60 Nota quod in formis numerariis secundi generis, scilicet tam in superficialibus, quam in solidis pyramidibus, quamque in columnis: semper forma hexagona mediocritatem servat: duaeque ab ea aequidistantes in numero angulorum, ut puta pentagona et heptagona: sive quadrata et octogona: sive triangula et enneagona coniunctae conficiunt duplum ipsius hexagonae propter aequalia crementa.

61 9^o februarii 1557

62

1^a

63 Nota denique quod cubus sive¹⁵ octahedrus centralis cum impari collaterali coniunctus aequivalet duplo pyramidis vel tetrahedri centralis.

64 Et hoc, quoniam numerus basium octahedri ad numerum basium tetrahedri duplus: et numerus laterum ad numerum laterum duplus: impar autem additus facit, ut unitas centralis cum semidiametris octahedri sint, additione facta, duplum unitatis centralis et semidiametrorum tetrahedri. Nam cum semidiametri octahedri sint sex¹⁶: et semidiametri tetrahedri 4^or, oportet adiicere ad summam octahedri duas semidiametros, hoc est parem collateralem, et unitatem ad duplicandam unitatem centralem: quae cum pari facit imparem collateralem. Constat igitur propositum.

65 Postridie.

66

2^a

67 Ex aggregato duarum proximarum radicum in aggregatum quadratorum ex eis multiplicato fit numerus, qui cum aggregato radicum coniunctus facit duplum aggregati cuborum earumdem.

68

70

3^a

71 Omnis cubus centralis cum impari collaterali coniunctus efficit duplum aggregati ex cubo primi generis collaterali et praecedenti.

72 Nam numerus, qui fit ex aggregato radicis propositi loci et praecedentis, hoc est ex impari collaterali, in aggregatum quadrati collateralis et praecedentis, hoc est, in collateralem centralem, est per primam solidorum regularium, gnomo collateralis in quadratis quadratorum: et per 13^am talis gnomo est cubus centralis. Sed talis numerus cum aggregato radicis collateralis et praecedentis, hoc est cum impari collaterali coniunctus, efficit per praemissam duplum aggregati cuborum collateralis et praecedentis. 73 Igitur cubus centralis cum impari collaterali et coniunctus, facit ipsum tale duplum, quod est propositum.

74

4^a

75 Omnis cubus primi generis cum praecedenti cubo coniunctus conficit collateralem tetrahedrum centralem.

76 Nam, per primam harum, cubus centralis cum impari collaterali coniunctus facit duplum tetrahedri centralis: et per praemissam, idem cubus centralis cum impari collaterali coniunctus efficit duplum aggregati cuborum collateralis et praecedentis. Igitur tale cuborum duplum aequale est duplo tetrahedri, et perinde cuborum aggregatum aequale erit ipsi tetrahedro centrali: quod est propositum.

77 6 martis 1557

78 [A:47v]

5^a

79 Omnis tetrahedrus centralis potest esse cubus centralis alterius modi, hoc est mixtus et compositus ex collaterali cubo et praecedenti, ita ut consequatur formam cubicam, sicut et quadratus centralis conficitur ex mixtura duorum quadratorum primi generis, scilicet collateralis et praecedentis.

80 Cum igitur per praemissam tetrahedrus constet ex collaterali et praecedenti primi generis cubis, et ex iisdem cubis constet cubus mixtus collateralis: constat propositum.

81

6^a

82 Omnis icosahedrus cum quadruplo imparis collateralis coniunctus facit quincuplum collateralis pyramidis centralis.

83 Et hoc, quoniam numerus basium icosahedri ad numerum basium pyramidis centralis, scilicet 20 ad 4 quincuplus est. Item numerus laterum linearium ad numerum laterum linearium illius ad huius scilicet 30 ad 6 quincuplus est. Et ideo aggregatum pyramidum triangularium componentium icosahedrum, ad aggregatum pyramidum triangularium componentium pyramidem centralem, quincuplum est: quae sequuntur numerum basium. Et similiter aggregatum ^lorum ad aggregatum ^lorum quincuplum, ut qui sequuntur numerum laterum. Addatur igitur unitati centrali ipsius icosahedri quaternarius: et sic quinarius erit quincuplus ad unitatem centralem pyramidis centralis. Cumque semidiametri icosahedri sint 12 et semidiametri pyramidis centralis 4 ad numerum scilicet angulorum solidorum; atque semidiametri 12 sint totidem¹⁷ radices collaterales: et 4 semidiametri totidem radices collaterales: oportebit duodecim radicibus addere octo radices collaterales: et perinde quadruplum paris numeri collateralis: (quando radix duplicata conficit parem:) ut aggregatum semidiametrorum in icosahedro existat quincuplum aggregati semidiametrorum in pyramide centrali collaterali: sed quadruplum paris¹⁸ numeri collateralis cum quaternario semper facit quadruplum imparis collateralis: quoniam scilicet par cum unitate facit imparem collateralem. Igitur quadruplum imparis collateralis appositus¹⁹ icosahedro²⁰ facit omnia quae²¹ concurrunt ad structuram quincupla eorum, quae componunt pyramidem centralem singula singulorum et perinde totum numerum totius quincuplum. Quod est propositum.

84

Exemplum praedictae demonstrationis in 5o loco   Pro tetrahedro Pro icosahedro Unitas centri 1 1 1 4 Semidiameter seu radix 4 16 48 32 quadruplum paris 8 Triangulus 3a primi generis 6 36 180   quadruplum imparis 9 Pyramis 2i generis 4a 34 136 680   189   909 36   36     945 qui numerus est quincuplus ad 189

85 Et haec²² demonstratio fit iam postrema primi libri Arithmeticorum.

86 Die 24 martis 1557.