Propositio 84^a

1 Sicut columna triangula centralis cum quadrati et trianguli collateralium primi generis aggregato coniuncta, triplum conficit¹ suae pyramidis. 2 Ita etiam sequentium columnarum cen[C:49v]tralium tam quadrata cum dicto aggregato² et uno triangulo praecedenti; quam pentagona cum eodem aggregato et duplo trianguli praecedentis; quam hexagona cum tali aggregato et triplo trianguli praecedentis; quam septangula cum ipsomet aggregato et quadruplo trianguli praecedentis; quamque³ octangula cum eo ipso aggregato et quincuplo trianguli praecedentis coniuncta, triplum efficit suae pyramidis.

3 Sumpto columnae centrales collaterales a quidem triangula, ipsa⁴ b quadrata, ipsa c pentagona, ipsa d hexagona, ipsa e septangula et ipsa f octangula. Item g quadratus et h triangulus eiusdem loci, hoc est, collaterales ipsarum columnarum et ex primo⁵ genere. 4 Item k⁶ triangulus eiusdem generis praecedentis loci; et ex alia parte sunto pyramides centrales columnis dictis collaterales: ipsa quidem l triangula, ipsa m quadrata, ipsa n pentagona, ipsa o⁷ hexagona, ipsa p septangula, ipsaque q octangula; quibus dispositis, ostendendum est quod, sicut per septuagesimam nonam huius, aggregatum ex agh triplum est ipsius l, ita et aggregatum [S:44] ex bgh et k triplum erit ipsius m nec non [C:50r] aggregatum ex cgh duploque ipsius k triplum ipsius n⁸; itemque aggregatum ex dgh triploque ipsius k triplum ipsius o; adhuc aggregatum⁹ ex egh et quadruplato k triplum ad p et tandem aggregatum ex fgh et quincuplicato k triplum ad ipsam¹⁰ q, hoc pacto. 5 Sit columna triangula primi generis praecedens¹¹, hoc est collateralis ipsi k triangulo signata per r; pyramis autem [centralis¹²] praecedens, hoc est, collateralis columnae r ac triangulo k esto notata¹³ per s; cumque aggregatum ex agh triplum sit ipsius l , per septuagesimam nonam praemissam, ostendam quod, aggregatum ex bgh et k triplum est ipsius m. 6 Nam, per corollarium septuagesimae sextae huius, ipsa b addit super a ipsam r et ipsum k. Et ideo aggregatum bghk addit super aggregatum agh ipsam r et duplum ipsius k. Item ipsa m super l, per corollarium septuagesimae quartae, addit ipsam s. Triplum est autem additamentum additamenti, hoc est, ipsum r cum duplo ipsius k, triplum¹⁴ est ipsius s per quinquagesimam huius. 7 Igitur per primam quinti Euclidis, aggregatum ex bgh et k triplum erit ipsius m, quod fuit ostendendum. Et quoniam c addit super b ipsam r et alium k per corollarium septuagesimae sextae huius, et n super m addit rursus ipsam s per corollarium septuagesimae quartae¹⁵; similiter penitus et eodem processu ostendam, quod aggregatum [C:50v] cgh cum duplo ipsius k triplum est ipsius n. 8 Nec non, quod aggregatum dgh cum triplo¹⁶ ipsius k triplum est ipsius o. Adhuc quod aggregatum egh cum quadruplo ipsius k triplum est ipsius p et demum, quod aggregatum fgh cum quincuplo ipsius k triplum est ipsius q, sicut demonstrandum proponitur.

Corollarium

9 Et eodem cremento procederemus, si ultra octangulam columnam ac pyramidem confingeremus formas sequentes, scilicet enneagonam¹⁷, et decagonam, et reliquas deinceps. Sed ne curiositas modum excedat, satis sit nobis hucusque progressi¹⁸; et protinus de regularibus solidis disserere incipiamus, ne quid in hac speculatione intactum relinquatur.

col.								pyr.
a	g h							l
b	g h	K						m
c	g h	K	K					n
d	g h	K	K	K				o
e	g h	K	K	K	K			p
f	g h	K	K	K	K	K		q
				r.	s.

	Exemplum pro loco 5o
col. 5.	5.	5.	4.	pyr. 5.
125	25	15		65
205	25	15	10	85
255	25	15	20	105
305	25	15	30	125
355	25	15	40	145
405	25	15	50	165

40	20
col.	pyr.   4a