[S:128]

Diffinitiones

1 Commensurabiles magnitudines dicuntur quas communis mensura metitur.

Incommensurabiles vero, quarum impossibile est inveniri communem mensuram.

Commensurabiles potentia quantitates sunt, quarum potentia, [C:127v] hoc est quadrata, sunt commensurabilia.

Incommensurabiles vero potentia, quarum quadrata incommensurabilia.

2 Commensurabiles in secunda potentia quantitates sunt, quarum secunda quadrata sunt commensurabilia.

Incommensurabiles similiter, quarum incommensurabilia.

Commensurabiles cubo quantitates sunt, quarum cubi commensurabiles.

Incommensurabiles vero cubo, quarum cubi incommensurabiles.

3 Quibus ita se habentibus, si proponatur quantitas quaepiam, erunt infinitae quantitates illi commensurabiles, et quantitate, et potentia,¹ et potentia secunda, et cubo.

Vocetur itaque proposita quantitas rationalis, unde et quadratum ipsius, et secundum quadratum, et cubus, et quaecunque dignitates ab ea propagatae rationales erunt.

4 Et quantitas propositae, sive magnitudine, sive potentia commensurabilis, rationalis vocetur.

Incommensurabilis vero, irrationalis.

Quibus ita diffinitis subiungemus singulas irrationalium diffinitiones: nam, cum

Quantitas rationalis sit, quae positae rationali commensurabilis est.

5 Rationalis potentia tantum erit, cuius quadratum dumtaxat rationale est. Similiter et rationalis cubo tantum, cuius cubus tantum rationalis est.

Medialis autem, cuius secundum quadratum dumtaxat rationale est. Ex quibus diffinitionibus sequitur, ut [C:128r] quantitas rationalis sit etiam et potentia, et cubo, et potentia secunda rationalis; non autem e contrario. Item, ut quantitas potentia rationalis sit etiam potentia secunda rationalis; non autem e contrario. 6 Nunc diffiniemus quantitates irrationales bimembres.

Binomium constat ex duabus quantitatibus rationalibus ac potentia tantum commensurabilibus. Quarum excessus [S:129] Apotome, vel Residuum² dicitur; et necesse est, ut earum quadrata conficiant rationale; earum vero productum mediale.

7 Bimediale primum constat ex duabus quantitatibus medialibus potentia tantum commensurabilibus, et rationale comprehendentibus, quarum quadrata conficiunt mediale. Harum excessus Residuum mediale primum dicitur.

Bimediale secundum constat ex duabus quantitatibus medialibus potentia tantum commensurabilibus et mediale comprehendentibus, quarum quadrata conficiunt mediale, quod est mediali praedicto incommensurabile. Harum excessus Residuum mediale secundum dicitur.

8 Maior constat ex duabus quantitatibus potentia incommensurabilibus³, quarum quadrata conflant rationale; et quod sub ipsis mediale. Harum vero excessus dicitur Minor.

Potens rationale ac mediale constat ex duabus quantita[C:128v]tibus potentia incommensurabilibus, quarum quadrata conflant mediale; et quod sub ipsis rationale. Harum excessus dicitur cum rationali mediale totum potens.

9 Potens duo medialia constat ex duabus quantitatibus potentia incommensurabilibus, quarum quadrata conflant mediale; et quod sub ipsis mediale praedicto incommensurabile. Harum excessus dicitur cum mediali mediale totum potens. In quibus sex diffinitionibus mediale intelligitur quantitas potentia tantum rationalis. Namque omnis area, sive omne productum potentia tantum rationale, solet ab Euclide mediale vocari. Et linea potens talem aream solet ab eodem linea medialis dici. 10 Quod tamen non interturbabit propositum nostrum. Nos enim quantitatem in genere, sive illa linea sit, sive area, potentia tantum rationalem vocamus, cuius quadratum rationale. Medialem vero, cuius quadratum secundum tantum rationale est. Sed tamen⁴ in⁵ diffinitionibus dictarum sex irrationalium sequemur Euclidem.

Praeterea tam binomium, quam residuum habet sex species sic distinctas. 11 Quando maior portio binomii seu residui est potentior breviore in quadrato quantitatis sibi⁶ commensurabilis, ipsum est primae, secundae, vel tertiae speciei; quando vero maior portio breviorem potentialiter excedit in quadrato quantitatis sibi incommensurabilis, ipsum est quartae, quintae, vel sextae speciei. Deinde si maior por[S:130]tionum [C:129r] fuerit rationalis quantitate binomium, seu residuum erit primae, vel quartae speciei; si minor portio fuerit rationalis, erit secundae, vel quintae; si neutra portionum fuerit rationalis, erit tertiae, vel sextae speciei.