Propositio 110^a

1 Si circuli decagonum aequilaterum circumscribentis diameter fuerit residuum commensurabile residuo proprio, tunc latus decagoni erit residuum primum. Si autem latus decagoni ponatur rationale, tunc diameter erit binomium, commensurabilium nominum residui proprii nominibus. Si demum latus decagoni ponatur binomium commensurabilium nominum residui proprii nominibus, tunc diameter erit binomium primum.

2 Sit a linea circuli [C:166v] diameter¹ rationalis, b autem linea latus decagoni in eo descripti, eritque, per praemissam centesimam septimam, b residuum quintum. Rursum ponatur c linea residuum ipsi b commensurabile, diameter alterius circuli; et latus decagoni in circulo c descripti sit linea d. Dico tunc, quod d erit residuum primum. 3 Nam propter proportionem harum quatuor linearum erit quod fit ex ad aequum ei quod ex bc. Sed quod ex bc fit, per septuagesimam primam huius, est residuum primum: quoniam bc sunt residua invicem commensurabilia. Igitur quod fit ex ad residuum primum est, quod divisum in a rationalem, cum exhibeat in quotiente ipsam d, erit d per sexagesimam quintam huius residuum primum; et haec est prima pars propositi. 4 Deinde ponatur d latus decagoni rationale; tunc aio, quod c diameter circuli circumscribentis ipsum erit binomium habens nomina commensurabilia ipsius b residui nominibus. Nam propter dictam proportionem diametrorum et laterum, erit quod fit ex ad aequale ei quod fit ex bc. Rationale est autem quod fit ex ad quoniam ad rationales ponuntur. 5 Igi[S:174]tur rationale est quod ex bc. Sed hoc, cum divisum per b residuum exhibeat in quotiente ipsam c, [C:167r] erit per septuagesimam nonam huius c binomium commensurabilium nominum ipsius b divisoris nominibus; quod secundo loco proponebatur. Demum ponatur d latus decagoni binomium commensurabilium nominum ipsius b residui nominibus. Dico tunc, quod c diameter circuli circumscribentis ipsum, erit binomium primum. 6 Nam, sicut antea, erit quod fit ex ad aequum ei quod ex bc. Sed quod ex a rationali in d binomium fit, est, per sexagesimam tertiam huius, binomium ipsi d binomio commensurabile. Igitur quod sub bc binomium est nominum commensurabilium ipsius b residui nominibus; cumque hoc divisum per b residuum exhibeat in quotiente ipsam c, iampridem per octuagesimam tertiam huius, erit c binomium primum; et hoc est tertium, quod restabat, demonstrandum.

Corollarium

7 Quod si pro latere decagoni sumatur latus dodecagoni; vel si pro diametro circuli sumatur diameter sphaerae, et pro latere decagoni latus dodecahedri: eadem omnia, quae proposita hic et ostensa sunt, similiter sequentur. Nam per centesimam septimam, posita diametro rationali, latus dodecagoni residuum sextum. At per centesimam octavam latus dodecahedri, adhuc idem residuum est. [C:167v]

8 Denique tam super lateribus isopleurarum figurarum tam planarum quam solidarum, quam super earum perpendicularibus, quam etiam super lineae media extremaque ratione divisae portionibus, possent formari variae ac pene infinitae questiones; nunc videlicet circuli diametrum, nunc latera, nunc segmenta supponendo irrationalia, nunc cuiusvis speciei aut ordinis irrationalia. 9 Sic itur² in immensam³ atque inextricabilem irrationalium sylvam, videlicet trinomia, quadrinomia, mediales secundas, tertias et caeteras, quae infinitae sunt. Quae tamen ex ipso calculo curiosis notescere possunt. Nobis satis sit hactenus processisse, praximque [S:175] decimi Elementorum demonstrasse, ac multa ab Euclide omissa conclusisse; caetera relinquo curiosioribus. Sed obscura minusque necessaria minus curanda sunt. Quod et Cicero in officiis praecipere videtur.

Libri⁴ secundi Arithmeticorum Maurolyci finis: hora

decimaoctava, diei Sabbati, qui fuit Iulii 24^us. Cum

Messanae cum multo pontis et arcus

apparatu expectaretur Io. Cerda,

Methynensium Dux,

Prorex. Indict. 15.

M.D.LVII.