Propositio 109^a

1 Si circuli pentagonum aequilaterum circumscribentis diameter fuerit linea irrationalis minor commensurabilis minori proprie, tunc latus pentagoni erit residuum quartum. Si autem latus pentagoni ponatur rationale, tunc diameter erit irrationalis, quae maior. Si demum latus pentagoni ponatur maior praedictae [S:172] commensurabilis, tunc diameter erit binomium.

2 Sit¹ a linea circuli diameter² rationalis, b autem linea latus pentagoni in eo circulo descripti. Eritque per centesimam septimam praecedentem b minor. Rursum ponatur c linea minor ipsi b commensurabilis diameter³ alterius circuli, et latus pentagoni in circulo c descripti sit linea d. Aio, quod linea d est residuum quartum. Cum enim diametri circulorum sint lateribus similium figurarum circumscriptarum proportionales, erit sicut a ad b sic c ad d. 3 Quare quod⁴ fit ex a in d aequum⁵ erit ei,⁶ quod ex b in c. Sed id, quod ex b in c est residuum quartum per septuagesimam primam huius, quoniam bc sunt minores invicem commen[C:165v]surabiles. Igitur, quod fit ex a in d erit residuum quartum. Cumque idipsum divisum in a rationalem exhibeat in quotiente ipsam d erit d per sexagesimam quintam huius, residuum quartum; et haec est prima pars propositi. 4 Deinde ponatur d latus pentagoni rationale; tunc dico, quod c diameter circuli circumscribentis ipsum erit maior. Nam propter dictam proportionem diametrorum et laterum, erit quod fit ex ad aequum ei quod ex bc. Rationale est autem quod fit ex ad quoniam ad rationales ponuntur. Igitur rationale est quod fit ex bc. Sed hoc divisum per b minorem reddit ipsam c. 5 Ergo per centesimam secundam huius c maior est ipsius b minoris correlativa; et hoc est quod secundo loco proponebatur. Demum ponatur d latus pentagoni maior ipsius b correlativa hoc est commensurabilium et proportionalium nominum; tunc aio, quod c diameter circuli circumscribentis ipsum, erit binomium. Namque, ut prius, erit quod fit ex ad aequum ei quod ex bc. 6 Sed quod ex a rationali in d maiorem fit, per sexagesimam tertiam huius, maior est ipsi d maiori commensurabilis. Igitur, quod sub bc maior est proportionalium et commensurabilium nominum ipsius⁷ b nominibus [commensurabilium⁸]. Verum hoc [C:166r] divisum per b minorem, per octuagesimam quintam, exhibet binomium; exhibet autem ipsam c. Ergo c binomium; quod supererat demonstrandum. [S:173]

Corollarium

7 Quod si pro latere pentagoni sumatur latus octogoni; vel si pro diametro circuli sumatur diameter sphaerae, et pro latere pentagoni latus icosahedri: eadem omnia, quae proposita et demonstrata sunt, sequentur. Nam per centesimam septimam praecedentem, posita diametro rationali, tam latus octogoni in circulo talis diametri; quam latus icosahedri in talis diametri sphaera descripti, minor est, per praemissam centesimam octavam.