Propositio 103^a

1 Omnis quantitatis secundum extremam mediamque rationem divisae, utraque portio residuum est, maior scilicet quintum, minor autem primum.

Agam per lineas, a quibus argumentum transferri potest ad quodvis quantitatis genus. Ponatur linea rationalis ab quae perpendicularis sit ad ipsam cbd sitque bc dimidium ipsius ab, coniunctaque ac ponatur ipsi ac [C:160v] aequalis cd et abscindatur de ipsa ab ipsi bd aequalis be. 2 Quod fieri potest: nam ab bc simul maius sunt quam ac hoc est quam cd. Sic¹ ergo per undecimam secundi Elementorum, linea ab secetur in puncto e, ita ut rectangulum ba ae aequale sit quadrato be et perinde ab be ea² sint continue proportionales, hoc est ut tota ab ad maiorem portionem be talem habeat rationem³, qualem ipsa be ad minorem portionem ea. 3 Ostendendum itaque est, quod existente ab rationali be [S:166] erit residuum quintum, et ea residuum primum, sic. Quoniam ab dupla est ad bc, ideo quadratum ipsius ab quadruplum erit ad quadratum ipsius bc. Sed per penultimam primi Elementorum, quadratum ipsius ac aequale est quadratis ab bc simul sumptis. Igitur quadratum ipsius ac⁴ et ideo ipsius cd quincuplum erit ad quadratum ipsius bc. 4 Cumque bc per hypothesim sit rationalis, erunt dc potentia tantum rationalis, et bc longitudine rationalis; quare per diffinitionem harum excessus bd residuum quintum erit: quandoquidem dc potentior quam cb in quadrato lineae sibi incommensurabilis. Igitur et be ipsi bd aequalis residuum quintum erit. Atque ideo per sexagesimam primam huius, quadratum ipsius be erit residuum primum. Est autem quadratum ipsius be aequale rectangulo ba ae. 5 Igitur quod fit ex ba in ipsam ae [C:161r] residuum primum est. Sed quod fit ex ba in ae divisum in ba rationalem, exhibet ipsam ae. Ergo per sexagesimam quintam huius, ipsa⁵ ae quotiens divisionis est commensurabilis et cognominis ipsi divisae, hoc est, quod fit ex ba in ae quod est residuum primum. Itaque ae residuum primum est; quod restabat demonstrandum. Quae demonstratio ad omnem quantitatem transfertur, sicut infert propositio.