Propositio 55^a

1 Omne productum duarum quantitatum rationalium et potentialiter tantum inter se commensurabilium, est potentia tantum rationale; quod tamen ab Euclide vocatur mediale.

Sunto ab quantitates rationales, hoc est ambae potentia tantum ratio[S:138]nales, vel una rationalis in magnitudine, altera vero tantum potentia, et invicem potentialiter tantum commensurabiles, quae inter se multiplicatae faciant ipsam c. 2 Aio, quod c est quantitas potentia tantum rationalis. Fiant enim ea, quae in praecedenti, eritque [C:136v] per eadem, sicut d ad b sic e ad c. Cumque per hypothesim ipsa d ipsi b sit potentialiter tantum commensurabilis, erit per quadragesimam octavam huius, ipsa e quae rationalis est potentialiter tantum commensurabilis ipsi c. Igitur per diffinitionem c potentia tantum rationalis est. Quod est propositum. 3 In altera vero demonstratione erit per corollarium quinquagesimae tertiae praecedentis, f ad g non sicut quadratus numerus ad quadratum numerum: et idcirco fg per vigesimam sextam¹ octavi non erunt ad invicem plani² numeri similes. Quare, per secundam³ noni, ipse h ipsorum fg productum non erit quadratus numerus, et perinde c ipsius h radix potentia tantum rationalis est, sicut proponitur.

Scholium

4 Illud autem notandum, quod praefatum⁴ productum quantitatum rationalium ab Euclide vocatur medialis quantitas, sive medialis area: quoniam gignitur ex ductu laterum; atque ita intelligendae sunt diffinitiones irrationalium magnitudinum, ubi de areis mentio⁵ fit; linea⁶ vero in talem aream potens⁷, hoc est, cuius quadratum est talis area, medialis dicitur.