Propositio 24^a

1 Propositis duabus quantitatibus, cubo tantum cognitis, eas coniungere, et minorem a maiori subtrahere.

Sunto propositae magnitudines ab quarum quadrata cd¹ et quarum cubi ef volo eas coniungere per cubos hoc est comperire cubum totius ab tanquam unius magnitudinis. Duco a in d et proveniat g, cuius triplum sit h. Item duco b in c et proveniat k, cuius triplum sit l. 2 Mox aggregatum ipsorum efhl sit [C:109r] m. Qui, per vigesimam primam praecedentem, erit cubus totius ab qui quaerebatur. Unde radix cubica ipsius m [S:109] erit aggregatum propositarum magnitudinum ab. Et nota, quod si cubi, qui cogniti supponuntur, scilicet ef fuerint in proportione cuborum numerorum, tunc per corollarium decimae quartae huius, ipsae magnitudines ab erunt ad invicem commensurabiles. 3 Unde tunc tam g quam k erunt rationales quantitates: quoniam earum cubi sunt cubi numeri per praecedentem quandoquidem producuntur ex quadratis numerorum ef in proportione cubica existentium, multiplicatis vicissim in ipsos numeros ef. Quamobrem cum gk tunc sint rationales, eorum tripli scilicet hl rationales erunt; cumque ef per hypothesim sint rationales, quia cubi cogniti, erit aggregatum ex efhl hoc est ipse m cubus totius ab numerus rationalis. 4 Quare tota quantitas ab erit cubo cognita, et unius nominis, sicut corollarium decimae quartae concludit. Contra, de tota magnitudine ab cognita per cubum eius m, volo subtrahere magnitudinem a cuius cubus e idque per cubos, hoc est reperire cubum relictae, qui est f. Sit itaque n qui fit ex ab tota in a. Quod autem fit ex n in b sit o, cuius triplum sit r, eritque per antepraemissam m aequalis aggregato ipsorum ef et r. Itaque ex n in totam ab fiat p et ex [C:109v] n² in a fiat q. Unde per primam secundi Euclidis p aequalis erit aggregato ipsarum oq. 5 Aufero igitur ipsum q ab ipso p et supererit o cuius triplum r iungo cum e et aggregatum minuo ab ipso m et supererit f cubus scilicet ipsius b quaesitus, quae post ipsius a a tota ab subtractionem relinquitur. Hic rursum nota, quod si cubi, qui cogniti supponuntur, scilicet m et e fuerint ad invicem sicut cubi numeri, tunc per corollarium quartaedecimae huius, ipsae magnitudines ab tota et a erunt ad invicem commensurabiles. 6 Unde tunc necesse est, cubos ipsarum pq magnitudinum, esse cubos numeros, et perinde ipsas pq esse rationales. Unde sequitur, ut earum differentia scilicet o sit rationalis, eiusque cubus, numerus cubus. Quod sic ostendi potest. Cum m et e sint ad invicem sicut cubi numeri, intererunt ipsis per decimam octavam octavi duo medii proportionales, qui sint rs. 7 Sit autem ipsius m quadratus t et ipsius e quadratus x fiatque ex m in e numerus n, qui fuit cubus magnitudinis n. Et ex m in n numerum fiat numerus p, qui fuit cubus magnitudinis p. Itemque ex n in e fiat numerus q, qui fuit cubus magnitudinis q. Dico igitur, quod p numerus est cubus ipsius r. [C:110r] Atque quod q numerus est cubus ipsius s. 8 Nam cum me numeri sint ad invicem sicut cubi numeri, et eorum quadrati sint t et x, iam per praecedentem tam numerus qui ex e in t quam numerus qui ex m in x producitur, cubus [S:110] numerus erit: cum autem m multiplicans se ipsum faciat t et multiplicans ipsum e³ faciat n⁴ erit⁵ per primam sexti Elementorum, sicut m ad e sic t ad n. 9 Quare per vigesimam septimi, qui fit ex m in n scilicet ipse p aequalis erit ei, qui ex e in t qui cubus fuit. Igitur p cubus, cuius radix r. Similiter cum e multiplicans se ipsum faciat x et multiplicans ipsum m faciat n, erit sicut e ad m sic x ad n. Quare, qui fit ex e in n scilicet ipse q aequalis erit ei, qui ex m in x, qui cubus fuit. Igitur q cubus erit, cuius radix s. Tam igitur p quam q cubus numerus est. Quod fuerat demonstrandum.

COROLLARIUM

10 Unde manifestum est, quod si duo numeri servantes rationem cuborum, singuli multiplicent suum productum, qui ex inde fient, cubi numeri erunt. Quod corollarium cum praecedenti propositione [C:110v] quam decentissime locari poterat in Arithmeticis Elementis: ut sicut ibi ostensum est, ex ductu similium planorum⁶ generari quadratos, ita constet etiam qua ratione, quoque ductu ex cubis numeris, cubi quoque numeri nascantur. 11 Sed haec ideo adducta sunt, ut regula additionis, et subtractionis radicum cubicarum peculiaris, et respondens regulae in decima tertia huius de quadratis radicibus traditae, melius notesceret; quamquam ulterius illa speculari, quae ab Euclide neglecta sunt, nimis curiosum esset. Itaque ad reliqua transeamus.