Propositio 21^a

1 Si quantitas quaelibet in duo segmenta secetur, cubus, qui ex tota aequus¹ erit his, scilicet duobus cubis sectionum, et triplo eius, quod [S:107] fit ex quadrato utriusque in reliquam.

Sit ab quantitas, utcumque² in duo divisa, scilicet in a et in b. Dico, quod cubus totius³ ab aequalis erit his, scilicet cubo ipsius a et cubo ipsius b et triplo eius, quod fit ex quadrato a in b necnon et triplo eius, quod fit ex quadrato b in a. [C:107r] 2 Quod sic ostendam. Per quartam secundi Elementorum, quadratum totius ab est aequum his, scilicet quadrato ipsius a quadrato ipsius b et duplo eius, quod fit ex a in b. Ergo, propter aequam utrobique multiplicationem, cubus ab aequalis erit his, scilicet ei, quod ex ab in quadratum ipsius a et ei, quod ex ab in quadratum ipsius b et duplo eius, quod ex ab in productum ex a in b. 3 Sed per⁴ primam secundi Elementorum, quod fit ex quadrato ipsius a in ab aequum est his, scilicet ei, quod fit ex quadrato ipsius a in a scilicet cubo ipsius a et ei, quod fit ex quadrato ipsius a in b. Illud autem, quod fit ex quadrato ipsius b in totam ab aequum est his, scilicet ei, quod fit ex quadrato ipsius b in b scilicet cubo ipsius b et ei, quod fit ex quadrato ipsius b in a. 4 Item per primam secundi Elementorum, quod fit ex producto ipsarum ab in totam ab aequum est his scilicet ei, quod fit ex producto ipsarum ab in a et ei, quod fit ex eodem producto in b⁵. Sed quod fit ex producto ipsarum ab in a aequum est ei, quod fit ex quadrato ipsius a in b. Illud autem, quod fit ex producto ipsarum ab in b aequum est ei, quod fit ex quadrato ipsius b in a. Ergo quod fit ex producto ipsarum ab in totam ab aequum erit his, scilicet ei, quod fit ex [C:107v] quadrato ipsius a in b, et ei, quod fit ex quadrato ipsius b in a. 5 Quare et duplum eius, quod fit ex producto ipsarum ab in totam ab aequum erit his, scilicet duplo eius, quod fit ex quadrato ipsius a in b et duplo eius, quod fit ex quadrato ipsius b in a. Ergo commutatis aequalibus, cubus totius ab aequalis erit his, scilicet cubo ipsius a cubo ipsius b triplo eius, quod fit ex quadrato ipsius a in b, et triplo eius, quod fit ex quadrato ipsius b in a. Quod fuit demonstrandum.