Propositio 102^a

1 Si ex numeris ab unitate continuatim dispositis imparibus in infinitum, segregetur unitas, et ex sequentibus tres, et inde quinque, et deinceps aliae multitudines semper secundum impares successive numeros¹, tunc si unitas, et dictae sequentes multitudines singillatim coacerventur, unitas et aggregata ipsa singula erunt quadrati quadratorum a radicibus per ordinem ab unitate dispositis in se multiplicatis² factorum.

2 Hos quadratos quadratorum nuper quadratos secundos appellavimus. Quod igitur unitas primus imparium sit quadratus quadrati unitatis, constat per se: quandoquidem unitas in se ducta semel atque iterum semper unitatem producit. 3 Quod autem tres sequentes cum unitate coniuncti conficiunt quadratum, constat per decimam quintam huius; et quoniam unitas et tres sequentes impares per quatuor aggregationes conficiunt totidem quadratos, iam idcirco ultima eorum congeries erit quartus quadratus, hoc est, [C:72v] quadratus quartae radicis. 4 Sed per praecedentem, eiusque corollarium, quarta radix numerus quadratus est, igitur talis congeries est quadratus quadrati quaternarii³, hoc est, quadratus secundus binarii. 5 Similiter ostendemus quod quinque sequentes impares ad talem quadratum secundum appositi efficient quadratum nonae radicis; sed nona radix, per praemissam et suum corollarium, tertius quadratus erat; igitur talis cumulus erit quadratus secundus sequens, hoc est, quadratus novenarii, scilicet quadratus secundus ternarii. 6 Non aliter, si tali quadrato secundo applicentur septem impares sequentes, conflabunt quadratum sedecimae radicis per decimam quintam huius⁴. Cumque radix sedecima, per praemissam et suum corollarium, sit quadratus quartus, iam tale conflatum erit quadratus secundus sequens, hoc est, quartae radicis, sive quadratus quarti quadrati, hoc est sedenarii. 7 Ad huc si huic quadrato secundo accumulentur novem impares sequentes, constituetur quadratus secundus sequens, hoc est quintae radicis, sive quadratus ex 25 in se multiplicato factus, et sic in infinitum. Quod demonstrandum proponitur.

1		1
3	|
5	|	16
7	/
9	|
11	|
13	|
15	|
17	/	81
19	|
21	|
23	|
25	|
27	|
29	|
31	/	256
33	|
35	|
37	|
39	|
41	|
43	|
45	|
47	|
49	/	625