PROPOSITIO XXVIII.

Si ab initio spirae ad duo peripheriae relicta puncta duae rectae educantur, et super initium ad eductarum intervalla circuli describantur; spatium comprehensum a peripheria maioris circuli, et spirae, et a recta, extra producta, eam habet rationem ad spatium comprehensum a peripheria minoris circuli, et eiusdem spirae, et a recta earum terminos iungente, quam habet semidiameter circuli minoris, una cum duobus tertiis excessus semidiametrorum ad semidiametrum maioris una cum eiusdem excessus tertia parte.

Sit linea spiralis quaelibet HABCD, in qua relicta sint duo puncta A, C; et ab ini[S:223]tio spirae H educantur rectae HA, HC: ad quarum intervallum super centro H, circuli describantur, et ipsa HA producta occurrat circulo maiori apud G; spatium sub eductis rectis, et peripheria circuli minoris comprehensum sit N; spatium autem sub eadem peripheria, et spirali, et parte diametri circuli maioris comprehensum sit P; spatium denique sub eadem peripheria spirali, et peripheria circuli maioris, rectaque AG comprehensum sit X. Ostendendum est quod spatium X ad spatium P, est sicut AH una cum duobus tertiis ipsius GA ad GH cum tertia parte GA, hoc modo. Nam per 26. huius, sector seu frustum GCH ad spatium NP est sicut quadratum GH ad rectangulum GHA una cum tertia parte quadrati GA: igitur dividendo spatium X ad spatium NP est sicut rectangulum HAG cum duobus tertiis quadrati GA ad rectangulum GHA cum tertia parte quadrati GA, quoniam scilicet sicut spatium X cum NP constat sectorem GCH, hoc est totum NPX: sic per 2. et 4. secundi elementorum rectangulum HAG cum duobus tertiis quadrati GA, iuncta cum rectangulo GHA, et triente quadrati GA constituunt totum quadratum GH. Et quoniam fuit invertendo spatium NP ad totum NPX, sicut rectangulum GHA cum tertia parte quadrati GA ad quadratum GH: et NPX ad N, est sicut quadratum GH ad quadratum HA; quandoquidem similes sectores sunt proportionales circulis, et proinde quadratis diametrorum. Propterea ex aequali proportione erit spatium NP ad frustum N, sicut rectangulum GHA cum triente quadrati GA ad quadratum HA; sed NP super N excessus est P; et ipsorum spatiorum rectanguli GHA, et tertiae partis quadrati GA excessus supra quadratum HA est rectangulum HAG cum tertia parte quadrati GA: (quandoquidem per 2. secundi elementorum rectangulum GAH cum quadrato HA aequale est rectangulo GHA:) igitur eversim erit spatium NP ad spatium P sicut rectangulum GHA cum triente quadrati GA ad rectangulum GAH cum tertia parte quadrati GA: erat autem X ad NP sicut rectangulum GAH cum duobus tertiis quadrati GA ad rectangulum GHA cum tertia parte quadrati GA: ergo ex aequali, erit spatium X ad spatium P, sicut rectangulum HAG cum triente quadrati GA ad rectangulum GAH cum tertia parte quadrati GA. Sed per 1. sexti elementorum rectangulum HAG cum duobus tertiis quadrati GA ad rectangulum HAG cum triente quadrati GA, est sicut linea HA cum duobus tertiis GA ad HA cum triente GA (rectangula enim aeque alta sunt basibus proportionalia.) Igitur sicut linea HA cum duobus tertiis GA ad lineam HA cum tertia parte GA; sic spatium X ad spatium P, et hoc erat demonstrandum.

COROLLARIUM.

Manifestum est ergo, quod si lineae GH, HA fuerint longitudine commensurabiles; spatia quoque praedicta N, P, X erunt inter se commensurabilia: secus autem incommensurabilia.