PROPOSITIO X.

Quod proposuit octava praecedens aliter demonstrare.

Esto trapetium ABGD, cuius axis RS per aequalia secans aequidistantia latera AD, BG in punctis R, S; in quo centrum gravitatis trapetii sit punctum O, in axe enim est centrum per 2. huius; quod centrum potest, et sic determinari: coniungantur RB, BD, DS, et divisa AB in tres partes aequales in punctis H, T, ducantur ipsis AD, BG aequidistantes HK, TL, quarum HK coincidat ipsis BR, RS, DG apud M, P, K puncta: ipsa vero TL coincidat ipsis RS, SD, DG apud Q, N, L puncta: eritque per 28. praecedentis, centrum trianguli ABD, punctum M: centrum vero trianguli BGD punctum N. Quare per 6. primi aequalium momentorum, centrum commune triangulorum ABD, BGD, hoc est centrum trapetii totius ABGD erit in linea MN: sed per 2. huius, centrum ipsius trapetii ABGD est in linea RS: igitur erit in communi sectione linearum RS, MN, quod sit O punctum:

BG   AD demonstrandum est igitur, quod linea RO ad lineam OS est sicut BG ad AD hoc quidem modo.   AD   BG

Per primam 6. Euclidis, sicut BG ad AD, [S:141] sic triangulum BGD ad triangulum ABD; quando autem per 27. primi momentorum aequalium, reciproca sunt gravia distantiis, quibus eorum centra absunt a centro communi. Propterea erit sicut triangulum BGD ad triangulum ABD, sic spatium MO ad spatium ON; et propter similitudinem triangulorum OMP, ONQ sicut MO ad ON, sic PO ad OQ. Quare sicut PO ad OQ sic BG ad AD.

PO   OQ   BG   AD   PO Igitur sicut PO ad OQ sic erit BG ad AD: verum PO simul aequalia sunt ipsi RO   OQ   PO   AD   BG   OQ

Atque

OQ OQ PO

simul aequalia sunt ipsi OS. quandoquidem aequales sunt portiones RP, PQ, QS.

BG   AD Ergo erit, et RO linea ad OS lineam sicut BG ad AD quod erat demonstrandum.   AD   BG

SCHOLIUM

Et haec est demonstratio Archimedis praeclarissimi, ex qua indirecte potest demonstrari eius conversa, quemadmodum in prima demonstratione praecedentis nonae factum est; et quoniam demonstratio huius decimae non indiget, quemadmodum octava, quinque propositionibus praecedentibus octavam ipsam: idcirco ex hac decima rursum alio modo possent demonstrari propositiones praedictae.