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De momentis aequalibus
  Introduzione
Edizione   Livello 0
Liber primus
Diffinitiones. Postulata 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
Liber secundus
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
Liber tertius
Praefatio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
Liber quartus
Praefatio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

Opere
Introduzione
1. Euclides
2. Sphaerica et parva astronomia
3. Arithmetica et algebra
4. Archimedes
5. Conica
6. Musica
7. Optica
8. Cosmographia et astronomica quaedam
9. Mechanicae artes
10. Epistulae

Instrumenta Maurolyciana
Introduzione
1. Catalogi
2. Bibliographica
3. Biographica
4. Iconographica
   
F  r  a  n  c  i  s  c  i        M  a  u  r  o  l  y  c  i        O  p  e  r  a        M  a  t  h  e  m  a  t  i  c  a

De momentis aequalibus

11 ott. 2002


A cura di
Pier Daniele Napolitani e Lucio Sarti


Introduzione

1  Presentazione dell'opera

Il De momentis aequalibus è costituito da quattro libri. Nel primo, Maurolico introduce un sistema di definizioni e di assiomi capaci di dar conto delle leggi dell'equilibrio e di geometrizzare il concetto di momento. Nel secondo tratta del centro di gravità del triangolo, del cerchio e dei poligoni regolari; mentre nel terzo del centro di gravità del trapezio, del segmento di parabola e del ``trapezio'' parabolico. Nel quarto, infine, sono trattati i centri di gravità di alcuni solidi: sfera, poliedri regolari, parallelepipedo e prisma, piramide, cono, conoide parabolico.

2  Tradizione e novità

Il De momentis nasce, nei programmi mauroliciani, come un tentativo di recuperare quanto Archimede aveva scritto su quel tema. Discuteremo questo punto più dettagliatamente nel prossimo paragrafo, ma per cogliere appieno i legami con la tradizione e gli elementi di novità introdotti da Maurolico è bene fin da ora tenere presente questo punto. Maurolico inizia la sua ricerca, come espressamente asserisce nei Grammaticorum libelli sex del 1528, senza avere mai visto Archimede. Come è stato dimostrato da E. Giusti (2001), è assai probabile che il punto di partenza di queste sue prime ricerche Maurolico lo trovasse nel De expetendis et fugiendis rebus (1501) di Giorgio Valla. Le indicazioni di Valla erano quanto mai tenui, dato che si limitava a riportare alcuni brani del commento di Eutocio all'Equilibrio dei piani: tuttavia Giusti ha fatto vedere credibilmente come gran parte del materiale contenuto nell'attuale primo libro del De momentis possa in effetti essere ricondotto a questa fonte. In particolare, il nome e il concetto di momento sembrano essere ripresi di peso dal commento di Eutocio letto nella traduzione valliana. Un primo, forte elemento di novità si registra proprio su questo punto: a differenza di Archimede e della tradizione antica e medievale, Maurolico trasforma questo concetto qualitativo in una grandezza geometrica su cui fondare la sua trattazione. Nelle proposizioni 36--39 arriva a dimostrare per il momento la proprietà che lo caratterizza: il rapporto dei momenti si compone del rapporto dei pesi e del rapporto delle distanze a cui essi sono sospesi. Analogamente, la mancanza di un modello completo e coerente sembra aver portato Maurolico a inventare una teoria dell'equilibrio e dei centri di gravità del tutto originale e un'altrettanto originale dimostrazione della legge della leva.

Questi dati, già da soli, inducono a immaginare che Maurolico non abbia avuto accesso nelle sue prime ricerche a un testo dell'Equilibrio dei piani; vale la pena di ricordare che la prima edizione a stampa del testo archimedeo è quella di Tartaglia del 1543, seguita l'anno dopo dalla princeps greco-latina di Basilea. Tale ipotesi è notevolmente rafforzata dal fatto che, se si passa al secondo libro, troviamo una dimostrazione del centro di gravità del triangolo basata essenzialmente sulle informazioni e sulle procedure che Archimede segue nella proposizione 6 della Quadratura della parabola. Dato che questo testo non è menzionato nella prefazione dei Grammaticorum libelli, sembra che Maurolico lo abbia conosciuto solo dopo il 1528, leggendolo nell'edizione che ne aveva fatto Luca Gaurico nel Tetragonismus, seu circuli quadratura del 15031. Assistiamo anche qui a una rifusione delle scarne affermazioni archimedee in una teoria di ampio respiro. Ciò che più importa, è che a un certo punto, Maurolico inserisce un'Alia demonstratio qua utitur Archimedes (De Mom. Aeq., II.22) che riassume il metodo usato da Archimede nella dimostrazione della proposizione I.13 dell'Equilibrio dei piani. Tale dimostrazione appare appunto come un'aliter, sostanzialmente estraneo allo sviluppo della logica dimostrativa e sembra essere stata aggiunta solo in un secondo tempo, dopo che Maurolico entrò effettivamente in contatto con il testo archimedeo genuino: con ogni probabilità, cioè, dopo il 1544.

Questo intreccio di rifusione di materiali ``sparsim collecta'' e di ricostruzione razionale originale è confermato dalla lettura del libro III, dove Maurolico dichiaratamente si rifà al secondo libro dell'Equilibrio dei piani:

Non exactum plane mihi videbatur opus de Momentis Aequalibus, nisi centris planorum, quorum inventio in praecedenti libello traditur, subiungerem ea, quae de centro paraboles demonstrat Archimedes praeclarissimus. Id itaque faciam in hoc tertio volumine, ut quidquid ille super hoc haud contemnendo in mathematicis negotio, distinctis propositionibus, atque praemonstratis necessariis facilius innotescat. Itaque, absolutis quibusdam super mensulas cuius duo tantum latera aequidistant centro, reliqua opportuna ex conicis elementis assumpta citantes, ad inventionem centri paraboles veniemus.

I teoremi ``super mensulas'' altro non sono che proposizioni relative al centro di gravità del trapezio, collocati qui per rendere più chiaro --- insieme con le ``opportune'' citazioni di teoria delle coniche --- il procedimento archimedeo che viene ampiamente sviluppato ed elaborato.

Il quarto libro, ovviamente, contiene solo materiali originali. I lavori di Archimede sui centri di gravità dei solidi non erano (e non sono) pervenuti. Maurolico li affronta per un esigenza di completezza:

Superest nunc agere de centri gravitatis inventione in solidis; hic enim erat eius speculationis locus, quem ab Archimede omissum non parum admiror. Nam quamvis memorati centri inventio facilis sit in sphaera, facilis in solidis, quae vulgo regularia dicuntur, et centrum omnis prismatis sit centrum ipsum rectilinei, quod basibus medium, et parallelum interiacet: tamen centrum pyramidis non minori industria, quam centrum plani trianguli, ne dicam maiori exquiri poterat. Itaque cum in primo libello doctrinam gravium universalem tradiderimus; in secundo centra planorum; in tertio conicae sectionis, quae parabola dicitur, ad ea distinctius intelligenda, quae scripsit Archimedes; nunc in hoc quarto solidorum negotium exequemur.

Oltre ai solidi ricordati in questa breve Praefatio del IV libro, in esso è contenuta anche una dimostrazione altamente originale del centro di gravità del conoide parabolico. Va ricordato al riguardo che la ricerca sui centri di gravità dei solidi si sviluppò nel Cinquecento soprattutto a partire dalla conoscenza dei Galleggianti di Archimede, dato che questi, nel secondo libro di tale opera fa uso della conoscenza del centro di gravità del paraboloide di rotazione. Tale è il caso, per esempio, di Federico Commandino che nel 1565 pubblicò a Bologna un Liber de centro gravitatis solidorum dove erano trattati i casi del prisma, della piramide e del conoide parabolico. Non sembra però che Maurolico abbia mai conosciuto i Galleggianti e che tale libro possa essergli servito di ispirazione2 Allo stesso modo, non sembra che egli possa essere stato influenzato dall'opera di Commandino, o che, viceversa le sue ricerche possano aver ispirato quelle commandiniane.

3   Contestualizzazione dell'opera

Come si è accennato qui sopra, le prime ricerche di Maurolico in materia precedono sicuramente il 1528. L'elaborazione del materiale che oggi possiamo leggere nell'unico testimone che ci ha tràdito il testo del De momentis, tuttavia, racchiude un'ampio arco temporale che si estende almeno fino al 1565. Una prima versione dell'opera doveva essere pronta verso il 1534, dato che nell'Archimedis de circuli dimensione liber e precisamente in una sua appendice, il Maurolyci Tetragonismus viene fatto un'esplicito riferimento a un teorema del De momentis:

[...] ducatur perpendicularis ad horizontem [...] quae sicut in libello momentorum aequalium ostenditur, ibit per centrum gravitatis figurae3.

È anzi probabile che questa versione del 1534 costituisse un rimaneggiamento profondo della precedente versione ante 1528; rimaneggiamento dovuto allo studio della Quadratura parabolae che gli aveva fornito materiale sia per la trattazione del centro di gravità del triangolo che per la teoria dell'equilibrio e dei centri di gravità in generale4. L'esistenza di una tale versione è confermata dalla lettera a Pietro Bembo del 1536, in cui si accenna di passaggio all'``Archimedis ... de momentis aequalibus'' e, soprattutto, dalla lettera di dedica della Cosmographia allo stesso Bembo del 1540. Fra le opere matematiche da lui restaurate, Maurolico cita il:

Archimedis de momentis aequalibus, sive de aequiponderantibus libellus ex traditione Eutotii Ascalonitae.

È interessante notare che il termine ``libellus'' mal si attaglia a un elaborato testo come il De momentis aequalibus di cui disponiamo attualmente. Ed è da segnalare inoltre come tale ``libellus'' sia attribuito ad Archimede.

Pochi anni dopo, tuttavia, Maurolico avrebbe cambiato radicalmente opinione sul lavoro che aveva condotto in materia. Venuto in contatto con il testo dell'edizione di Basilea, si rese conto che la sua elaborazione era da un lato assai diversa da quella genuinamente archimedea e che, d'altro canto, conteneva concezioni e tecniche del tutto originali. Nella lettera a Juan de Vega (1556) rivendica infatti l'originalità della sua opera:

Neque me poenitebit unquam de momentis aequalibus libellos quatuor scripsisse, cuius materiae et inventio et laus Archimedi nostro debetur. Ego tamen multa copiosius super ea re demonstravi. In primo quidem de momentorum proportione; in secundo de centris triangulorum et planarum figurarum; in tertio de portionibus paraboles. In his Archimedes succincte nimium se praestitit: si modo, quod extat, opus integrum est, pondus enim et momentum, cum sint magnitudinum notandae species, erant multo latius tractandae. In quarto demum libellum totam mihi laudem vendicare non erubescam. Nam, de centris solidorum quod ab Archimede pratermissum magnopere admiror, disserui, et in pyramide centrum gravitatis id punctum esse ostendi, quod utcumque positi solidi quartam celsitudinis partem versus basim relinquit.

In effetti, le date di composizione apposte al termine dei quattro libri del De momentis mostrano l'avvenuta rielaborazione in termini nuovi del materiale precedente che aveva portato l'unico ``libellus'' del 1540 a espandersi nei quattro di cui parla a de Vega. Il primo libro risulta completato il 6 dicembre 1547, il secondo il 19 dicembre, il terzo il 30 dicembre, e il quarto il 23 gennaio 1548. Il De momentis comparirà in tutte le versioni dell'Index lucubrationum, a partire da quella del 1558, fra le opere ``propria'' di Maurolico e non fra le ``aliena'' in cui sono elencati i suoi rifacimenti di altri autori.

Occorre aggiungere, infine, che le fatiche di Maurolico sul questo testo non si conclusero nel 1548. Come è stato dimostrato in Napolitani-Sutto 2001, fino al 1565 Maurolico non aveva ancora scoperto il centro di gravità del conoide parabolico. Tale scoperta va fatta risalire per l'appunto al 1565, anno in cui Maurolico scrive un breve trattato, il De centro solidi parabolae demonstratio acutissima dedicato al centro di gravità del conoide parabolico. All'interno di uno scritto strettamente collegato, la Collatio aliorum centrorum si trovano indicazioni di come stesse accarezzando l'idea di comporre un quinto libro del De momentis:

Cum itaque centrum parallelogrammi, cylindri et omnis columnae in primo Aequalium momentorum. Centrum trianguli in secundo. Centrum parabolae in tertio. Centrum Coni ac pyramidis in 4o certis demonstrationibus determinatum a nobis fuerit. Atque in praesenti libello (qui quintus in ordine esse potest) centrum parabolici solidi congruere cum centro trianguli sit ostensum [corsivo nostro].

Tale progetto tuttavia non fu ulteriormente sviluppato, e la dimostrazione del De centro solidi parabolae, profondamente rimaneggiata, andò a collocarsi alla fine del libro IV del De momentis (propp. 19--23).

4  Fortuna

Come accennato più sopra, nonostante che Commandino e Maurolico siano stati in contatto epistolare, non pare che l'uno siano venuto a conoscenza del lavoro dell'altro né viceversa. Commandino l'afferma esplicitamente nella prefazione al Liber de centro gravitatis, dicendo di aver ritardato la pubblicazione delle sue ricerche nella speranza che venissero pubblicate quelle promesse da Maurolico nell'Index lucubrationum annesso al volume di Sphaerica del 1558. Anche se non disponiamo di testimonianze altrettanto dirette, pare si possa escludere anche che Maurolico possa aver conosciuto il libro di Commandino prima delle sue ricerche sul centro di gravità del conoide parabolico del 15655

Un cenno su una possibile diffusione manoscritta è fornito nella Vita dell'abate del Parto scritta da Francesco Maurolico jr., nipote dello scienziato, che ci informa che

Presentonne ancora la copia dell'opera de' momenti uguali da lui composta al Signor Adriano Acquaviva figlio del Duca d'Atri, venuto per allhora in Sicilia col Marchese di Pescara suo Zio, quale come intendente e scienziato in cotal facoltà frequentava non di rado lo studio Maurolico.

Tuttavia, allo stato attuale della ricerca, non è stato possibile trovare traccia alcuna di questa copia offerta all'Acquaviva.

Il De momentis rimase inedito fino al 1685, quando fu pubblicato nell'edizione palermitana dell'Archimede mauroliciano. Non sembrerebbe dunque che possa aver esercitato un'influenza significativa sulla matematica. Alcuni indizi (discussi in Napolitani-Sutto 2001) sembrano tuttavia indicare che una certa conoscenza dei lavori di Maurolico in materia di centri di gravità circolasse negli ambienti legati al Collegio Romano, e in particolare nell'Accademia matematica di Clavio. In particolare, le dimostrazioni di Maurolico sul conoide parabolico e l'utilizzazione di una doppia sospensione per determinare il centro di gravità di un quadrante di cerchio allo scopo di dedurne la quadratura, potrebbero aver influenzato Luca Valerio, allievo di Clavio a Roma e autore di un'importante De centro gravitatis solidorum libri tres (Roma, 1604) e forse anche le ricerche del giovane Galileo in materia di centri di gravità dei solidi.

5  Testimoni

Admirandi Archimedis syracusani monumenta omnia mathematica quae extant quorumque catalogum inversa pagina demonstrat ex traditione doctissimi viri D. Francisci Maurolyci, nobilis siculi, abbatis Sanctae Mariae a Partu. Opus praeclarissimum, non prius a typis commissum, a matheseos vero studiosis enixe desideratum, tandemque e fuligine temporum accurate excussum. Ad Illust. et Religiosissimum virum Fr. Simonem Rondinelli, ... Panormi, apud D. Cyllenium Hesperium, cum licentia Superiorum, MDLXXXV. Sumpt. Antonini Giardinae, bibliopolae Panorm. (S14), pp. 86--180.

6  Criteri di edizione

Si è seguito il testo di S14, epurandolo dai numerosi errori tipografici. Per quanto riguarda il titolo dell'opera esso in S14 suona come:

Archimedis De momentis aequalibus ex traditione Francisci Maurolyci

Alla luce delle argomentazioni discusse nel § 3, abbiamo ritenuto opportuno mutarlo semplicemente in De momentis aequalibus.


1  Su questo punto, cfr. Clagett 1964--82, vol. III, p. III.

2  Su questo punto, cfr. Napolitani-Sutto 2001.

3  Si noti che di questo testo possediamo un manoscritto autografo e datato 1534: cfr. l'introduzione al De circuli dimensione.

4  Vedi supra, § 2.

5  Cfr. la discussione svolta da Napolitani e Sutto (2001).

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