[A:2v] 8^a

// Sint inaequales magnitudines ab et c quarum maior ab et alia quantacumque d. // Aio quod ab maiorem rationem habet ad d quam c ad d.

14 // Cum enim ab sit maior quam c ponatur ipsi c aequalis be et ae multiplicetur donec excedat ipsam d ita ut c toties multiplicatum non sit minor quam d et sit talis multiplex ipsius ae ipsa fg et gh aeque multiplex ipsius eb et k aeque multiplex ipius c eritque per primam huius, et fh aeque multiplex ipsius ab. Et quoniam k non est minor quam d erit¹⁰ ei aequalis aut maior, si aequalis, tunc sit ipsius d ipsa l duplex: eritque k minor quam l. 15 Sed quoniam gh et k sunt aequales, quondoquidem sunt ipsarum eb c aequalium aeque multiplices, ideo gh aequalis erit ipsi d. Sed fg maior quam d. Ergo fh maior quam dupla ipsius d quae est l. Igitur cum ipsis magnitudinibus¹¹ ab c aeque multiplices sunt fh k et ipsi d multiplex l sitque maior fh quam l non autem *** maior¹² k quam l. Iam per diffinitionem maiorem habebit rationem ab ad d quam c ad d quod est propositum. 16 // Si autem k fuerit maior quam d tunc sunto duae multiplices immediatae ipsius d utpote m n ita ut m non sit maior quam k et n non sit minor quam k erunt autem m d simul aequales ipsi n cumque gh sit aequalis k erit m non maior quam gh. 17 Sed fg maior quam d. Ergo fh maior quam m d et ideo maior quam n. Igitur cum ipsarum magnitudinum ab c aeque multiplices sint fh k et ipsius d multiplex n sitque maior fh quam n non autem maior k quam n. Iam per diffinitionem maiorem habebit rationem ab ad d quam c ad d quod est primum ex propositis. // Item aio quod d ad c maiorem habebit rationem, quam d ad ab tunc enim¹³ faciam ut n sit maior quam k et¹⁴ stantibus caeteris, quoniam n vel l excedunt ipsam k¹⁵ et eadem n vel l¹⁶ non excedit ipsam fh. Iam et ex dicta diffinitione maiorem rationem habebit d ad c quam d ad ab quod est reliquum ex propositis.