13^a

// Prima a ad secundam b eam habeat rationem, quam tertia c ad quartam²⁹ d tertia vero c ad quartam d maiorem rationem, quam quinta e ad sextam f. // Aio quod prima a ad secundam b maiorem habebit rationem, quam quinta e ad sextam f.

24 // Cum enim c ad d maiorem habeat rationem, quam e ad f erunt per diffinitionem quaedam aeque multiplices ipsarum c e quae sint g h et quaedam aliae³⁰ aeque multiplices ipsarum d f quae sint k l ita ut g excedat ipsam k et h non excedat ipsam l et quotuplex est g ipsius c totuplex sit m ipsius a item quotuplex k ipsius d totuplex sit n ipsius b. Itaque quoniam a ad b sicut c ad d et g excedit ipsam k [A:4r] oportet per diffinitionem proportionalium magnitudinum, ut m quoque excedat ipsam n. 25 // Sed h non excedit ipsam l. Igitur per diffinitionem a maiorem rationem habet ad b quam e ad³¹ f quod est propositum. // Additio³²

[A:IIIv] 26 Additio³³ Campani post 13^am

// Item sit a ad b sicut c ad d, c vero ad d minor, quam e ad f. // Aio quod et a ad b minor erit, quam e ad f.

27 // Nam tunc e ad f maior erit quam c ad d quare per diffinitionem erunt quaedam ipsarum ec aeque multiplices, quae sint³⁴ h g et quaedam aliter³⁵ ipsarum f d aeque multiplices, quae sint l k ita ut h excedat ipsam l at g non excedat ipsam k. // 28 Sit autem m tam multiplex a quam g multiplex c et n multiplex b quam k multiplex d et quoniam a ad b sicut c ad d ac³⁶ g minor quam k erit per diffinitionem proportionalium magnitudinum m minor, quam n. 29 Sed h excedit l. 30 Itaque per diffinitionem maior erit³⁷ e ad f quam a ad b et ideo a ad b minor quam e ad f quod est propositum.

[A:4r]

Scholium

// Sit ab ad c maior, quam d ad e. // Volo invenire aeque multiplices ipsarum ab et d et alias aeque multiplices ipsarum c e ita ut addat multiplex ipsius ab super multiplicem ipsius c non autem addat multiplex ipsius d super multiplicem ipsius e id enim possibile est per diffinitionem³⁸ quam assumit praemissa propositio. 31 // Itaque sicut est d ad e sic sit af³⁹ ad c eritque per praemissam et per 10^am ab maior, quam af sit maior in magnitudine bf cuius multiplex gh excedat ipsam c ita ut k aeque multiplex ipsius d non sit minor quam e et quam multiplex est gh ipsius bf tam multiplex sit lg ipsius af eruntque, per primam huius, lh ipsius ab et k ipsius d aeque multiplices. 32 Deinde m sit prima multiplicium ipsius e maior⁴⁰ quam k aut aequalis k et n sit aeque multiplex ipsius c sicut m ipsius e eritque per conversionem diffinitionis proportionalium magnitudinum et praesentia supposita, magnitudo n prima multiplicium⁴¹ ipsius c maior quam lg aut ei aequalis, nec erit lg minor quam c. // Sit ergo sub ipsa n maxima multiplicium c quae sit p constabitque n ex p et c. 33 // Itaque quoniam lg non est minor quam p et gh maior quam c erit tota lh maior quam totum pc et ideo quam n. Sed k minor quam m aut aequalis. Igitur lh et k aeque multiplices ipsarum ab et d et ipsarum ce aeque⁴² multiplices aliae n m inventae sunt, ita ut lh excedat ipsam n, non autem excedat k ipsam m quae inveniendae proponebantur.