La comprensione dei punti razionali di una varietà algebrica arbitraria è una ricerca tanto affascinante quanto complessa. Un esempio classico è fornito da "L'ultimo teorema di Fermat". Una possibile strategia in tale studio consiste nel cercare di costruire parametrizzazioni di tali punti razionali. La nozione di R-equivalenza è stata introdotta da Manin, nel 1972, con lo scopo di formalizzare questo tipo di questione. Il seminario sarà introduttivo. Prima di tutto verranno richiamate delle nozioni di base di geometria algebrica, dopodiché verrà data la definizione di R-equivalenza, il tutto accompagnato da esempi e motivazioni. Nella seconda parte verrà presentato un risultato, dovuto a Colliot-Thélène e Sansuc, sul calcolo delle classi di R-equivalenza di tori algebrici.

Gromov and Lawson's surgery theorem states that positive scalar curvature (psc) is invariant under surgeries of codimension at least 3. Working with cobordism theory on a refined statement by Chernysh of the latter, Ebert and Frenck proved that the homotopy type of the space of psc metrics on a manifold M, if non empty, depends on a certain cobordism class of M. In this talk I will discuss a conjecture that claims that the homotopy is in fact only dependent on the normal 2-type of M. We will also see how this is related to the "isotopy implies concordance" conjecture.

Il mapping class group è un oggetto di grande importanza in topologia di bassa dimensione. In questa presentazione, introdurremo alcuni aspetti importanti della teoria, concentrandoci in particolare sui Dehn twists e parleremo di sottogruppi generati da un numero finito di Dehn twists. En passant, presenteremo alcuni risultati noti e problemi ancora aperti e vedremo come tali gruppi appaiono naturalmente in svariati contesti.

La teoria di Teichmüller di rango superiore è un'area di ricerca relativamente nuova e in rapido sviluppo che studia proprietà geometriche e dinamiche di rappresentazioni di gruppi di superfici in gruppi di Lie di rango almeno 2, generalizzando così la teoria di Teichmüller classica che si occupa di rappresentazioni in PSL(2,R) (o PSL(2,C)). In questo seminario daremo vari esempi di spazi di Teichmüller di rango superiore e spiegheremo come alcuni risultati classici si estendono, con opportune modifiche, a questo contesto. Non sono necessari particolari prerequisiti per seguire il seminario. Aver seguito il corso di Istituzioni di geometria (o almeno Geometria e Topologia Differenziale) può comunque essere d'aiuto.

Introduced around 2000, Khovanov homology marked the start of a new field of study in knot theory. It was born as a 'categorification' (or generalisation) of the Jones polynomial, a classical link invariant, but it proved to be more than just that: despite its combinatorial nature, it contains a surprising amount of topological information about knots and links (for example, it provides lower bounds for the slice genus and the unknotting number). In this talk, we will give a description of Khovanov homology as well as some applications in low dimensional topology, such as a way to detect exotically knotted surfaces in the 4-ball.

Since the 1980s, the homology cobordism group has been a central object in the development of low-dimensional topology. In this talk, we will discuss its historical roots, present our current knowledge about its algebraic structure, and state open problems about the behaviors of homology spheres.

We will review a classical problem in group theory, the so-called Word Problem, from a geometric perspective by relating it to an even older geometric problem, the Isoperimetric Problem. The main actor being Dehn functions. We will talk about an interesting class of groups and review what is known about their Dehn functions and present some recent progress. If time allows it we will discuss the ideas behind it which will serve as an excuse to talk about an interesting open problem.