Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (555AA)
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Questa pagina si riferisce al corso tenuto da me e dal prof. Maurizio Pratelli in anni precedenti (ultima edizione a.a. 2020/2021). Fare riferimento al portale Esami per informazioni aggiornate.
Descrizione del corso
Il corso approfondisce gli aspetti avanzati del calcolo stocastico per la risoluzione di problemi collegati ad equazioni differenziali stocastiche.
Programma:
Aspetti dell’analisi stocastica collegati ad equazioni differenziali in presenza di componenti aleatorie. Diseguaglianze di Burholder-Davis-Gundy e diseguaglianze di concentrazione per martingale.
Problemi di buona positura (esistenza, unicità, differenziabilità rispetto a parametri) nel caso di equazioni differenziali stocastiche di Itô a coefficienti regolari.
Cenni alla teoria delle equazioni con coefficienti poco regola- ri: soluzioni deboli, problema delle martingale, equazioni di Fokker-Planck-Kolmogorov, teoremi di Yamada-Watanabe-Engelbert.
Misure invarianti, semigruppi e legami con le diseguaglianze funzionali.
Calcolo di Malliavin: Spazi di Sobolev sullo spazio di Wiener, formule di integrazione per parti, con applicazioni allo studio delle densità delle leggi dei processi stocastici e in particolare alle soluzioni di equazioni differenziali stocastiche regolari non degeneri, teoremi di rappresentazione (formule di Clark-Ocone) e disuguaglianze funzionali (disuguaglianze di Sobolev logaritmiche e di concentrazione Gaussiana).
Funzioni BV e insiemi di perimetro finito su spazi gaussiani: definizione e teoremi di approssimazione, formula di Coarea, esempi.
Materiale didattico
Gli appunti di Maurizio Pratelli sul calcolo di Malliavin.
Una nota scritta insieme a Simone Rotundo per una dimostrazione alternativa del teorema di esistenza della densità per variabili aleatorie che soddisfano una formula di integrazione per parti.
