Datas duas proportiones continuare.
[Fig. 23]
Sunt duae datae proportiones .a. ad .b. et .c. ad .d. quas oportet continuare.
¦¦ Ducatur .b. in .c. et fiat .e. Ducatur .a. in .c. et fiat .f. Eritque sicut .a. ad .b. sic .f.1 ad .e.2 quandoquidem producta sunt proportionalia multiplicatis ab eodem numero.
¦¦ Ducatur item .b. in .d. et fiat .g. Eritque similiter sicut .c. ad .d. sic .e.3 ad .g.
2 ¦¦ Sed proportio .f.4 ad .g. componitur ex proportionibus .f. ad .e.5 et ipsius .e.6 ad .g. Ergo eadem proportio .f.7 ad .g. componitur ex proportionibus .a. ad .b. et ipsius .c. ad .d. quae continuantur sub terminis .f.8.g. quod est perpetuum.
3
Datis duabus proportionibus, utramvis a reliqua subtrahere.
[Fig. 24]
Proponatur proportio .a. ad .b. subtrahenda a proportione .c. ad .d.
¦¦ Ducatur .b. in .c. et fiat .e. Item .a. in .d. et fiat .f. Adhuc .b. in .d. et fiat .g. Eritque: quoniam producta multiplicatis sunt proportionalia: sicut .c. ad .d. sic .e. ad .g. et similiter, sicut .a. ad .b. sic .f. ad .g. Sed .e. ad .f. proportio est, differentia proportionum .e. ad .g. et ipsus .f. ad .g. Hoc est subtracta proportione .f. ad .g. de proportione .e. ad .g. relinquitur proportio .e. ad .f.
4 ¦¦ Ergo et sublata proportione ipsius .a. ad .b. de proportione .c. ad .d. relinquitur proportio .e. ad .f. Et hoc relictum quaerebatur. Tres enim numeri continuant duas proportiones quae componunt proportionem sub extremis terminis contentam: et quarum utramvis est excessus compositae super reliquam.
[A:9v] Calculus pus
[Fig. 25]9
5 Compositio sesquialterae et sesquitertiae generat duplam. Unde si a dupla subtrahatur sesquialtera, relinquitur sesquitertia. Si subtrahatur haec relinquitur illa.
Quod constat ex multiplicatione terminorum .3.2. et .4.3. ex quorum ductu fiunt tres numeri .12.8.6.
6 Igitur diapente cum diatessaron componunt Diapason. A qua si subtrahitur illarum utralibet, residuatur reliqua.
2us
[Fig. 26]
7 Quod si detrahatur sesquitertia de sesquialtera: supererit sesquioctava. Unde sesquitertia cum sesquioctava conficit sesquialteram.
Constat ex hoc ordine multiplicationis. Unde producuntur tres numeri sequentes .9.8.6.
8 Igitur si subtrahatur diatessaron de diapente, relinquitur tonus. Et tonus cum diatessaron conficit diapente.
3us
[Fig. 27]
9
Si componantur duae sesquioctavae conflabit proportio superpartiens 17/64 hoc est 81 
64. Hoc modo. Nam tres producti scilicet .81.72.64. continent duas sesquioctavas.
10 Igitur duo toni continuati componunt ditonum.
[A:10r] 4us
[Fig. 28]
11 Si proportio .81. ad .64. subtrahatur a sesquitertia relinquetur proportio .256. ad .243.: hoc modo.
12 Igitur, si subtrahatur ditonus de diatessaron, relinquitur diesis, hoc est semitonium minus.
Et hoc cum ditono continuatum conflat ipsam diatessaron.
5us
[Fig. 29]
13 Si proportio .256. ad .243. subtrahatur de sesquioctava: superest proportio .2187. ad .2048. hoc ordine multiplicandi.
14 Ergo, si subtrahatur diesis de tono, relinquitur apotome.
Et haec cum diesi instaurat ipsum tonum.
15 Et quoniam numerus medius proportionalis inter .2187. et .1944. est maior quam .206110.
16 Propterea proportio .2048. ad .1944. minoris semitonii minor est quam dimidium toni.
17 Et proportio .2187. ad .2048. maioris semitonii11 plus est quam dimidium toni12.
[Marg. 6]13
[A:10v] 6us
[Fig. 30]
18 Si proportio .256. ad .243. auferatur de proportione .2187. ad .2048. relinquetur proportio .531441. ad .524288., hoc modo.
19 Igitur si subtrahatur diesis ab apotome, hoc est semitonium minus a maiori, superit comma quod cum diesi instaurat apotomen.
7us
20 Sequitur calculus 7us Boetiis in quo concludit tonum esse maiorem quam 8 commata: minorem vero quam novem.
21 Item diesim minorem .4or. maiorem quam tria commata.
22 Et apotomen minorem .5. maiorem .4or. commatibus quem calculum nos comportavimus et insuper ostendimus diesim esse maiorem quam .3. commata et dimidium.
23 Et apotomen maiorem .4or. commatibus et .1/2. ut patet inferius.
[A:11r] pus
[Fig. 31]14
2us
[Fig. 32]
3us
[Fig. 33]
4us
[Fig. 34]
5us
[Fig. 35]
6us
[Fig. 36]
[A:11v] Duplicatio diesis.
[Fig. 37]
[Marg. 7]