EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER QUINDECIMUS,

SOLIDORUM QUINTUS, ET CORPORUM REGULARIUM TERTIUS

EX TRADITIONE MAUROLYCI

Propositiones

1

1 In dato cubo pyramidem describere.

Protrahe sex basium cubi diametros ad quatuor ex cubi angulis concurrentes. Tales enim diametri erunt sex latera intus locatae pyramidis.

2

In pyramide octahedrum construere.

Divide singula pyramidis latera per aequalia, et divisionum puncta per duodecim rectas coniunge. Nam tales coniunctae continebunt latera inscripti octahedri.

3

2 In cubo octahedrum includere.

Coniunge sex basium cubi centra per duodecim rectas: quae quidem inclusum octahedrum configurabunt.

4

In octahedro cubum fabricare.

Octo triangulorum centra continua per duodecimam rectas. Quippe quae et latera inclusi cubi erunt.

5

3 In octahedro pyramidem collocare.

Octahedro cubum per praemissam et cubo pyramidem include per primam. Eadem enim ab octahedro circumscribetur.

6

In icosahedro dodecahedrum coaptare.

Coniunge viginti triangulorum cubi centra per triginta lineas. Quae quidem dodecahedrum ita formabunt, ut eius anguli dictis centris singuli singulis incidant.

7

4 In dodecahedro icosahedrum effingere.

Duodecim pentagonorum centra collige productis triginta chordis. Sic enim anguli clausi icosahedri tangent centra basium claudentis dodecahedri.

8

In dodecahedro cubum statuere.

In singulis pentagonis, singulas rectas, quae pentagoni subtendunt, angulos, protrahe. Sic duodecim rectae conflabunt sex quadrata cubum construentia inclusum.

9

5 In dodecahedro octahedrum componere.

Sex dodecahedri latera, quarum bina sunt per diametrum opposita et aequidistantia per aequalia divide. Et puncta divisionum connecte per duodecim lineas, quae inclusum octahedrum formabunt.

10

In dodecahedro pyramidem accommodare.

Inscribe dodecahedro cubum per 8^am. Et cubo pyramidem include per primam. Nam pyramis claudetur etiam a dodecahedro.

11

6 In icosahedro cubum condere.

Icosahedro dodecahedrum per 6^am. Et dodecahedro cubum per 8^am iugere. Qui et ab icosahedro circumscribetur. [S:143]

12

In icosahedro pyramidem figurare.

Icosahedro cubum ex praecedenti, cuboque pyramidem ex prima ad commoda. Ipsa enim et in icosahedro statuetur.

Scholium

7 Notandum, quod hae mutuae corporum regularium inscriptiones essent et esse possent viginti. Sed pyramide¹ solum octahedrum convenit inscribi. Cubo autem pyramidem et octahedron solummodo. Octahedro solum pyramidem et cubum. Icosahedro quidem tria, pyramidem, cubum et dodecahedrum. 8 Denique dodecahedro caetera quatuor singula coaptari possunt. Unde non iniuria solidum hoc coelo cuncta comprehendenti assimilavere. Quandoquidem pyramidem, propter formam, igni; cubum propter stabilitatem terrae; icosahedrum propter mobilitatem, aquae; octahedrum, propter senos cardinalium locorum angulos, aeri et huic magno elementorum inani vendicassent.

13

9 In quolibet dictorum solidorum sphaeram inscribere.

A centro sphaerae solidum circumscribentis duc ad unam basium solidi lineam perpendicularem per 11^am Undecimi: ad cuius spacium super centro semicirculum, et semicirculo circumducto super diametrum, sphaeram describe. Quippe quae (propter aequalitatem perpendicularium) tanget singulas solidi bases, cui inscribitur: tanget, inquam, in punctis illis, quae perpendicularium casus suscipiunt.

10 Unde manifestum est, quod sphaerae inscriptae intra octahedrum et cubum, a sphaeris aequalibus comprehensos sunt aequales. Idemque de icosahedro et dodecahedro dicendum. Cum per 9^am et 32^am praemissi, perpendiculares a centris sphaerarum ad bases talium corporum sint aequales. Quae perpendiculares sunt, per praemissam, sphaerarum corporibus inscriptarum semidiametri.