F  r  a  n  c  i  s  c  i        M  a  u  r  o  l  y  c  i        O  p  e  r  a        M  a  t  h  e  m  a  t  i  c  a
Introduzione Help Pianta Sommario
Euclidis elementorum compendia Liber quintus
App. =

[A:12r] ELEMENTORUM QUINTUS

1 Commensurabiles magnitudines sunt; quas una communis magnitudo metitur. Incommensurabiles vero, quas nulla communis mensura numerat. Unde1 omnes duo numeri sunt invicem commensurabiles quoniam mensurantur ab unitate.

2 Ratio est magnitudinum duarum eiusdem generis2 collatio.

Similes, eaedem3 vel aequales rationes dicuntur4, quae vel sunt eiusdem nominis, vel ad quamlibet, nominatam rationem collatae semper sunt ea vel5 simul maiores vel simul minores. Omnes6 autem duo numeri nominatam habent rationem.

3 Proportio est rationum similitudo, identitas vel aequalitas.

Eandem rationem habentes magnitudines prima ad secundam et tertia ad quartam, proportionales dicuntur.

4 Si prima ad secundam magnitudinem rationem habeat, quam secunda ad7 tertiam et quam tertia ad quartam et deinceps similiter; continue proportionales magnitudines dicuntur. Et tunc prima ad tertiam duplicatam rationem habere dicetur eius, quam prima ad secundam. Sed prima ad quartam triplicatam eius, quam prima ad secundam. Et deinceps.

Communes animi conceptiones

5 Aequales magnitudines ad tertiam quamlibet collocatae eandem habent rationem. Contra si eandem habeant rationem ad tertiam, sunt aequales.

Quaelibet magnitudo ad duas aequales collata eandem habet rationem. Contra si eandem illae sunt aequales.

6 Binae magnitudines binis magnitudinibus singulae singulis aequales8 sunt proportionales.

Inaequalium magnitudinum maior ad tertiam maiorem habet rationem. Et si maiorem; maior erit.

7 Quaelibet magnitudo ad duas inaequales magnitudines collata maiorem rationem habet ad minorem. Et si maiorem, illa ex duabus minor erit. [A:12v] Rationes duae, quae tertiam adaequant rationem sunt invicem aequales.

8 Rationes aequales rationibus aequalibus continuatae componunt rationes aequales. Ab aequalibus ablatae, relinquunt aequales. Rationes9 aequalium rationum aeque multiplices sunt aequales. Et e converso.

9 Inaequales vero aequalibus continuatae10, componunt inaequales, et ablatae relinquunt inaequales. Aequales11 rationes ad tertiam collatae sunt vel illi simul aequales vel simul maiores vel simul minores.

Propositiones

pa

10 Magnitudines commensurabiles sunt proportionales numeris. Sunto duae magnitudines a, b commensurabiles et earum communis mensura c quae metiatur ipsam a secundum numerum d ipsam vero b12 secundum numerum e. Atque ita quoniam a habet13 tot partes quot unitates habet numerus d. Et b tot partes, quot unitates habet numerus e erit sicut aadc sic dadunitatem. 11 Et sicut cadb sic unitasade. Ergo per 7am conceptionem, erit aadb sicut dade quod est propositum ***14 ratio.

figura 1

2a

12 Magnitudinum commensurabilium ratio nominata est. Quoniam scilicet15, per praecedentem, est ratio notorum numerorum: et ab ipsis nominatur.

3a

13 Omnis magnitudinum ratio aut nominata est, aut nominatis interiacet16 rationibus. Nam si magnitudines sint commensurabiles, tunc, per praemissam, ratio nominata est. Ut abadbc. Si autem incommensurabiles: tunc d metiatur ipsam ab. 14 Et eadem d metiatur ipsam be minorem quam bc et ipsam bf maiorem, atque ratio abadbc minor erit, quam ratio abadbe nominata: et maior; quam ratio abadbf nominata (per 5am conceptionem)17 [A:13r] interiacens scilicet ipsis

figura 2

4a

15 Magnitudines proportionales numeris sunt commensurabiles.

Sit magnitudo aadmagnitudinem b sicut numerus dadnumerum e. Dividatur a in tot partes, quot unitates sunt in numero d quarum partium una sit c. Eritque unitas ad d sicut cada. 16 Estque per hypothesim sicut d18ade sicut aadb. Ergo per 7am conceptionem unitasade sicut cadb. Sed unitas metitur numerum e. Ergo c magnitudo metitur magnitudinem b. Sed c metiebatur ipsam a. Ergo a, b commensurabiles.

figura 3

5a

17 Si ratio magnitudinum sit nominata; magnitudines sunt commensurabiles. Nominatur enim ratio a numeris, quibus magnitudines sunt proportionales per pam19 et ideo per praecedentem, ipsae magnitudines sunt commensurabiles.

6a

18 Magnitudines incommensurabiles non sunt sicut numerus ad numerum. Nam si sunt sicut numerus ad numerum, per20 antepraemissam, sunt commensurabiles quod est contra hypothesim astruitur ergo propositum.

7a

19 Magnitudines quae non sunt sicut numerus ad numerum sunt incommensurabiles. Nam si commensurabiles: tunc per pam horum, erunt sicut numerus ad numerum, quod est contra hypothesim astruitur ergo propositum.

8a

20 Si partes fuerint proportionales partibus in eiusdem nominis ratione. Et totum toti erit in eadem ratione. Quia quoties communes mensurae metiuntur21 singulas partes; toties aggregatum mensurarum metitur aggregata partium. Et perinde aggregata partium dividentur in numeros22 earum portionum, in quos dividuntur partes. Et ideo erunt in [A:13v] eiusdem nominis ratione.

9a

21 Si partes partibus sunt proportionales: erit sicut pars ad partem; sic totum ad totum. Sit sicut abadde sic bcadef. Dico quod erit, sic acaddf. Nam si rationes sint nominatae, constat propositum per praemissam. Secus autem23 tales proportiones, per 3am, interiacebunt nominatis rationibus. 22 Sit itaque ratio: abadde minor, quam abadeg nominata: eritque per diffinitionem similium rationum, ratio bcadef minor quam ratio bcadeh nominata eiusdem nominis. Verum per praemissam, ratio totius acadtotam gh est sicut abadeg vel bcadeh in eiusdem nominis rationem. 23 Minor24 autem est acaddf quam acadgh. Ergo et minor est acaddf quam abadeg et quam bcadeh. Et similiter ostendam, quod quacumque ratione nominata minor est ratio abadde vel bcadef hac ipsa minor erit ratio acaddf. Et quacumque maior; maior. Quare per conversionem diffinitionis similium rationum, erit sicut abadde vel bcadef sic acaddf quod fuit demonstrandum.

figura 4

10a

24 Si totum ad totum fuerit sicut ablatum ad ablatum erit residuum ad residuum sicut totum ad totum. Sit acaddf sicut abadde. Dico iam quod erit bcadef sicut acaddf. Nam secus sit bcadeg25 sicut acaddf et ideo sicut abadde eritque per praecedentem, sicut acaddg sic abadde et sicut bcadeg // fuit autem per26 hypothesim sicut abadde sic acaddf. 25 Igitur per 6am conceptionem, sicut acaddf sic acaddg quare per 2am conceptionem df et dg aequales, pars et totum quod est impossibile.

figura 5

[A:14r]

11a

Magnitudines proportionales sunt et permutatim proportionales. 26 Sit aadb sicut cadd. Erit sicut aadc sic badd. Namque ratio aadc componitur ex rationibus aadb et badc et ratio badd ex rationibus badc et cadd. Ergo per 7am conceptionem sicut aadc sic badd quod est propositum.

figura 6

12a

Magnitudines proportionales sunt et coniunctim proportionales. 27 Sit abadbc sicut deadef. Erit sicut acadcb sic dfadfe. Nam per praecedentem, erit permutatim, sicut abadde sic bcadef. Igitur per 9am erit acaddf sic bcadef. Et rursus permutatim, sicut acadcb sic dfadfe: quod est propositum.

figura 7

13a

28 Magnitudines proportionales sunt quoque disiunctim proportionales. Sit acadcb sicut dfadfe. Erit sicut abadbc sic deadef. Nam secus sit sicut abadbc sic geadef. Eritque per praecedentem, coniunctim sic acadeb sic gfadfe. Sed per hypothesim sicut acadcb sic dfadfe. Igitur per 6am conceptionem sicut dfadfe sic gfadfe. Quare per pam conceptionem df, fg aequales, quod est impossibile.

figura 8

14a

29 Magnitudines proportionales sunt quoque eversim proportionales. Ut si sit acadcb sicut dfadfe. Erit sicut acadab sic dfad de. Quia tunc, per 11am erit sicut acaddf sic cbadfe. Et ideo, per 10am sicut acaddf sic abad de. Et rursum per 11am sicut acadab sic df ad de.

figura 9

[A:14v]

15a

30 Magnitudines proportionales sunt et conversim proportionales. De rationibus nominatis, propositio manifesta est, quia per 5am, tales magnitudines sunt commensurabiles et ideo, per pam, sicut numerus ad numerum. Et numeri conversim servant idem nomen27. 31 Et ideo magnitudines conversim habent eiusdem nominis rationem, et per diffinitionem sunt proportionales. / Quando autem rationes non sunt nominatae, sit sicut abadbc sic deadef tunc dico quod cbadba erit sicut feaded. Sit enim ratio abadbg nominata, sicut deadeh nominata. Eritque per diffinitionem similium rationum, ratio abadbc minor, quam ratio abadbg. Et ratio dfadfe minor, quam ratio deadeh. 32 Sed conversim bgadba sicut ehaded quia nominatae et de nominatis ostensum est maiorque ratio bcadba quam ratio bgadga nominata. Et maior ratio28 efaded quam ratio ehaded eiusdem nominis. Et similiter quacumque nominata ratione maior erit ratio cbadba hac eadem maior ostendetur ratio efadde. 33 Et quacumque minor: minor. Igitur per conversionem diffinitionis similium rationum, erit conversim cbadba sicut efadde quod est propositum.

figura 10

16a

Si fuerit ratio primae magnitudinis ad secundam, sicut ratio tertiae ad quartam. Ratio autem quintae ad secundam sicut ratio sextae ad quartam: ratio aggregatae ex prima et quinta ad secundam erit sicut ratio sextae et tertiae ad quartam. 34 Hoc est sit abadc sicut deadf. Item sit bgadc sicut ehadf. Tunc dico quod totum agadc erit sicut totum dhadf. Nam per praecedentem erit conversim cadbg sicut fadeh. Igitur per 7am conceptionem erit abadbg sicut deadeh. [A:15r] Et coniunctim per 12am erit agadgb sicut dhadhe. Rursus ergo per dictam conceptionem fiet sicut agadc sicut dhadf. Quod erat demonstrandum.

figura 11

6 februarii

Inizio della pagina
=->