31^a Si cylindrus ellipticus plano tertiario secetur: facta sectio ellipsis est: diciturque secundaria.

Esto ellipticus cylindrus cuius axis no bases autem ellipses rs pq; ipsum pqsr parallelogrammum maius, per axem; et ipsae pq rs maiores ellipseon diametri: secetur autem¹¹⁴ cylindrus et plano tertiario recto videlicet ad parallelogrammum ps sitque facta sectio txuy cuius maior diameter tu minor xy centrum z.

Aio quod sectio txu ellipsis est.

Ponatur enim ellipsis¹¹⁵ glhk cuius diameter gh ipsi tu diametro vero kl ipsi xy sit aequalis, centrumque m¹¹⁶: et secentur diametri tu pq gh proportionaliter¹¹⁷ in punctis d et¹¹⁸ ipsis diametris perpendiculares usque ad periferias ducantur j d . Et¹¹⁹ quoniam ellipses sunt pq gh ideo¹²⁰ erit per 22^am huius¹²¹, sicut n semidiameter ad km semidiametrum sic d ad . Sed per praemissam eiusque corollarium xz ipsi n et ipsi d aequalis est: ergo sicut xz ad km sic ad hoc idem ostendemus, quotiescumque sectis tu gh diametris ad eandem rationem, itaque per diffinitionem similes sunt sectiones txu gkh. Sed gkh ellipsis est: ergo txu ellipsis.

Vel hoc modo: diametri tu xy diametris gh kl aequales aequalibus et segmenta t u segmentis g h aequalia aequalibus et kathetus katheto ¹²² aequalis aequali congruet et similiter omnia puncta periferiae txu omnibus punctis periferiae gkh et tota periferia toti periferiae congruet et tota igitur sectio toti sectioni: sectio¹²³ itaque tu¹²⁴ sectioni gkh et similis est et aequalis: sed gkh sectio ellipsis: ergo txu sectio est ellipsis quod est propositum.

Corollarium

Praeterea manifestum est quod quo obliquor fuerit tu diameter ad axem no eo longior erit ellipsis txu. Quare tunc erit curtissima, cum tu axi no recta fuerit.