IX.

Si in quolibet cono triangulum per axim rectum sit ad basim; plana vero ad triangulum recta, faciant hyperbolas quatuor; primam, cuius diameter aequidistet lineae descendenti ab angulo trianguli, qui apud verticem ad basim, et angulum per medium secanti; secundam, et tertiam, quarum diametri aequidistent lineis ab eodem¹⁴² angulo deductis, et angulos aequales hinc, et inde cum prima descendente suscipientibus; quartam, cuius diameter¹⁴³ aequidistet lineae a dicto angulo delapsae, ac remotiori a prima descendente. tunc in prima hyperbola traversa¹⁴⁴ diameter ad rectam habebit minimam rationem in secunda et tertia eamdem omnino, et minorem quam in quarta.

In cono ABG, cuius vertex B; basis circulus AMG; triangulum ad rectos basi¹⁴⁵ sint¹⁴⁶ ABG; quatuor autem plana recta ad triangulum, faciant quatuor hyperbolas; primam KML, cuius diameter KL, aequidistet ipsi BD, secanti bifariam angulum ABG; secundam et tertiam KXN, RYS, quarum diametri KN, RS aequidistent ipsis BE, BZ, suscipientibus utrinque angulos aequales cum ipsa BD; quartam denique KPO, cuius diameter KO, aequidistet ipsi bh¹⁴⁷; quae remotior est ab ipsa BD media, quam BE, vel b¹⁴⁸. Tunc aio quod in hyperbola KM transversa diameter ad rectam minor est ratio¹⁴⁹ quam in hyperbolis KX, RY; et in ipsis hyperbolis KX, RY, transversa ad rectam eamdem pariat¹⁵⁰ rationem. et minorem, quam in hyperbola KP. Namque per 12. primi Conicorum, in hyperbola KM transversa ad rectam est, sicut quadratum BD ad rectangulum ADG; in hyperbola KX est [C:21r] sicut quadratum BE ad rectangulum AEG; in hyperbola RY, sicut quadratum BZ¹⁵¹ ad rectangulum AZG; in hyperbola KP, sicut quadratum BH ad rectangulum abg¹⁵² sed per 7. huius eiusque [S:177] corollarium quadrati¹⁵³ BD ad rectangulum aeg¹⁵⁴ minor¹⁵⁵ est proportio¹⁵⁶, quam quadrati¹⁵⁷ BE ad rectangulum AEG; et quam quadrati¹⁵⁸ BZ ad rectangulum AZG. ipsum vero quadratum BE ad rectangulum AEG, est¹⁵⁹ sicut quadratum BZ ad rectangulum AZG et ipsum quadratum BE ad rectangulum AEG, vel quadratum BZ ad rectangulum AZG minorem rationem habet¹⁶⁰, quam quadratum AH ad rectangulum AHG. igitur¹⁶¹ in hyperbola KM transversae ad rectam minor proportio est¹⁶² quam in hyperbolis KX, RY; et in his eamdem habet rationem, et minorem, quam in hyperbola KP. quemadmodum demonstrandum proponitur.

Unde manifestum est quod hyperbola, cuius diameter cum latere trianguli per axem¹⁶³ suscipit dimidium anguli verticalis amplissima est cuius vero diameter minorem cum latere trianguli suscipit angulum angustior est; similes porro hyperbolae sunt quarum diametri cum lateribus trianguli aequales suscipiunt angulos.Voco autem ampliorem hyperbolam¹⁶⁴ cuius transversa minorem¹⁶⁵ ad rectam diametrum habet proportionem¹⁶⁶; angustiorem autem; cuius maior.