XXX.

Eisdem utique suppositis, id, quod duae praemissae proponunt brevissime demonstrare.

Sint circa eumdem axim, ac sub eodem vertice quinque praedictae sectiones, videlicet, hyperbole ab, parabole be, ellipsis bzg, ad axem³⁸⁶ longiorem bg, circulus bht, cuius diameter bt, ellipsis bkl, ad axem breviorem bl. Quarum sectionum communis recta diameter sit bd.

Demonstrandum est paucis id, quod 28. praecedens demonstravit. Hoc pacto, cum circulus bht, ad axem breviorem verticemque ellipsis bkl positus, diametrum bt aequalem ipsi bd, quae recta diametros ellipsis bkl est, habeat iam per 12. huius, ellipsis bkl³⁸⁷ intra circulum bht cadet. Similiter per 9. huius, circulus bht intra ellipsim bzg. Atque ellipsis bzg, per 15. huius, intra parabolam eb. Nec non parabola eb, per 21. huius, intra hyperbolen ab feretur. Omnes, per easdem, apud ipsum b verticem se invicem tangentes. Quod est propositum.

Rursum ponantur circa unum³⁸⁸ axem, unumque verticem quinque memoratae sectio[S:170]nes, ita ut super unum punctum a se invicem secent, sicut 29. praemissa supposuit, videlicet, ellipsis agb, ad axem breviorem bd, circulus aeb, [C:15v] cuius diameter bz, ellipsis ahb, ad axem longiorem bt, parabole³⁸⁹ AKB³⁹⁰; hyperbole AMB³⁹¹.

Iam breviter demonstrandum est id, quod praecedens demonstravit. Hoc pacto, cum parabole akb, et hyperbole amb³⁹² communem axem³⁹³ ac³⁹⁴ verticem habentes, se invicem secare apud a punctum supponantur. Iam non habebunt eamdem³⁹⁵ rectam diametrum, sic enim per. 21 huius, parabola tota intra hyperbolen caderet: quod est contra hypotesim³⁹⁶, cum supponatur ei coincidere ad punctum a. Nec rursus parabole akb habebit minorem rectam diametrum, quam habet hyperbole amb, et illa parabola, quae maxima parabolarum est intus tangentium hyperbolen amb. Nam tunc parabola akb, per primam huius, caderet³⁹⁷ intra parabolam tangentem, et perinde³⁹⁸ tota intra hyperbolen amb. Quod rursus adversatur supposito. Superest ergo ut parabole akb maiorem rectam diametrum habeat, quam hyperbole³⁹⁹ amb. Quare per 22. huius, peripheria hyperboles amb cadet intra peripheriam parabolae⁴⁰⁰ akb. Similiter per 15. et primam huius, destructis contrariis, arguetur ellipsis ahb habere maiorem rectam diametrum, quam habet parabole akb: et ideo per 16. huius, peripheria paraboles akb cadet⁴⁰¹ intra peripheriam ellipsis AHB⁴⁰², Adhuc similiter argumentando⁴⁰³ per 9. et 1.⁴⁰⁴ huius, confutatis contrariis, arguetur circulus aeb habere maiorem rectam diametrum, quam habet ellipsis ahb, et ideo per 10. huius, peripheria ellipsis ahb⁴⁰⁵ caderet intra peripheriam circuli aeb. Demum non aliter per 12. et 1. huius, indirecte ostendetur ellipsis agb habere maiorem rectam diametrum diametro circuli aeb, et propterea per 13. huius, peripheria⁴⁰⁶ circularis aeb ferri intra ellipsim agb. Omnes tamen apud b se invicem contingerent⁴⁰⁷. Et haec fuerant demonstranda.

FINIS LIBRI QUINTI⁴⁰⁸