XX.
Suppositis iisdem, utque prius facta eadem ellipsis, et hyperboles recta, demonstrandum est quod talis ellipsis est maxima inter ellipses circa eamdem transversam descriptas, et intus hyperbolen apud verticem tangentium. Contraque quod talis hyperbole minimam rectam habet inter hyperbolas, quae circa266 ipsam eandem267 transversam habentes, extrinsecus tangunt talem ellipsim.[S:164]
Iisdem manentibus, factaque, ut in antepraemissa, bd recta diametros268, tam hyperboles ab, quam ellipsis bz.
Aio iam quod ellipsis bze habet maximam rectam inter ellipses descriptas circa be transversam, et intus tangentium hyperbolen ab, apud b verticem. Contra quod hyperboles269 ab habet minimam rectam inter hyperbolas, quae sortitae ipsam bg transversam, tangunt extrinsecus ellipsim bze, apud dictum b verticem. Nam cum270, per antepraemissam, ellipsis bze tangens iam hyperbolen ab, apud b, tota intra hyperbolam271 ab cadat, atque per primam huius, infinitae ellipses ipsam bze ellipsim et perinde ipsam ab hyperbolen intus apud b tangant, ac demum per praecedentem, omnis ellipsis circa be diametrum descripta, habens rectam maiorem recta hyperboles ab, quae est bd, extra tangens hyperbolen, secat eam. Iam ex his sequitur ellipsim bze maximam habere rectam inter ellipses circa be transversam descriptas, et intus272 apud b hyperbolen ab tangentes. Quod est primum. Rursus quoniam per antepraemissam, hyperbola ab extrisecus273 tangit ellipsim bze, atque per primam huius, eiusque274 corollarium, infinitae hyperbolae habentes bg transversam ac rectam maiorem ipsa bd, tangunt extra ipsam hyperbolen ab, et perinde ellipsim bze, apud b, ac denique, per praemissam, omnis hyperbole super transversam bg, habens rectam minorem ipsa bd recta ellipsis, cadit intra ellipsim. Propterea ex his sequitur hyperbolen ab habere minimam rectam inter hyperbolas super bg transversam descriptas, et extrisecus275 tangentes ellipsim bze, apud b verticem. Quod supererat demonstrandum. [C:11v]
SCHOLIUM.276
Notandum tamen quod omnis ellipsis circa axem277 maiorem quam be, rectamque ipsammet bd descriptae, peripheria inter peripherias ellipsis bze, et hyperboles ab tota cadit. Namque per scholium primae huius278, extra ellipsim bze, et per 18. huius, intra hyperbolen ab feretur. Item omnis hyperbole habens transversam maiorem ipsa bg, rectamque ipsam bd cadet intra ipsas easdem ellipsis bze, et hyperboles ab peripherias. Nam intra hyperbolen ab fertur, per 2. huius, extra vero ellipsim bze, per 18. memoratam. Bene igitur habet speculatio circa hyperboles, et ellipsis mutuam contactum. Superest nunc paraboles cum hyperbola collatio.