[S:57] 10^a Si linea quaedam secans⁸¹ hyperbolen coincidat utrique⁸² non tangentium⁸³; contentum rectangulum sub receptis lineis inter non tangentes⁸⁴ et sectionem aequale est quadranti factae speciei ad diametrum, quae secantem lineam, eiusque parallelos bifariam secat.

Sit hyperbole abg. // Non tangentes de ez. // Linea dz secans sectionem apud a g et non tangentes apud d z quae bifariam secetur apud h cumque da gz per 8^am praecedentem sint aequales; erit et ag bifariam secta apud h. // Et coniungatur he et ponatur ipsi be aequale et. // Eritque bt diameter per corollarium 47^ae praemissi. // Et ipsi tb ad rectos bm ita ut, sicut est thb ah sic sit tb bm unde, cum bt sit diameter, erit per conversionem 21^ae primi, bm rectum speciei latus.

// Dico iam quod daz vel dgz est quarta pars tbm.

// Ducatur enim cbl tangens sectionem apud b quae per 5^am huius aequidistabit ipsi dz quandoquidem ipsae ah hg aequales⁸⁵.

// Itaque quoniam dz bifariam secta est apud h ideo, per 5^am secundi Euclidis

ah daz simul aequalia sunt dh.

Item quoniam bt bifariam secta est apud e ideo per 6^am eiusdem

thb be simul aequalia sunt eh.

Et quoniam per primam sexti Euclidis sicut tb bm sic tb tbm et sicut tb tbm sic eb bc quandoquidem singula singulorum quadrantes⁸⁶, per 3^am huius. Ideo sicut eb bc sic tb bm.

Sed per 12^am vel 21^am [A:43r] praecedentis, sicut tb bm sic thb ha igitur sicut thb ha sic eb bc.

Item propter ebc ehd similitudinem sicut eb bc sic eh hd⁸⁷.

Ergo sicut eh hd sic thb ha.

// Itaque quoniam totum eh totum hd est sicut ablatum thb ablatum ha.

Ideo per 19^am quinti Euclidis reliquum be reliquum daz sicut⁸⁸ totum eh totum hd et ideo sicut eb bc.

// Quam ob rem eadem ratio89 be bc daz .

Igitur per 9^am 5ⁱ Euclidis daz aequale est bc.

Sed per 3^am huius bc quadrans est tbm.

// Ergo et daz quadrans erit eiusdem tbm. // Et simili processu, vel quoniam⁹⁰ per 8^am huius gz da aequales, demonstrabimus, quod⁹¹ et⁹² dgz quadrans erit eiusdem speciei tbm sub ipsis tb bm sectionis diametris⁹³ contentae. Quod erat demonstrandum.

Manifestum est ergo, quod si duae lineae aequidistantes et⁹⁴ hyperbolen secantes utrique non tangentium⁹⁵ coincidant, quod sub unius portionibus ad periferiam continuatis continetur rectangulum, aequale erit sub portionibus alterius ad periferiam similiter contiguis contento rectangulo.