[A:41r]

Maurolycus abbas lectori. Salutem.

1 Cum olim Catanae degerem, dum ferrandus Vega Ioannes proregis filius nostris lectionibus operam daret: atque inde per Neetinae Vallis oppida cum eo milites, equitesque recensente peregrinarer: quidquid ocii supererat, solitis speculationibus impendebam. Cumque in primis multa Catanae, complura Motucae, Vizinii atque Calagurae scripsissem: veluti, per adscriptas locorum et temporum notas in istoc quaternione legentibus constare potest; hic ea, quae Plocii speculantibus occurrerant, Ennae Servatoris natalem celebrantes, adnotabimus rursus a principio exorsi, quam scilicet haec, quamvis posterius animadversa¹ praecedere debuerant. Nec te lector perspicacissime perturbet, si quid ex his a Iordano fuerit antea demonstratum. Non enim ob id labori parsimus: semperque hic et alibi conati sumus sylvosas ac difficiles Iordani demonstrationes in brevitatem pariter ac facilitatem redigere, atque nonnulla aliter demonstrare: ab Euclide interim demonstrata, ut supervacua et inanem laborem adiicientia, omittentes: et multa magis fastidiosa, quam aut trivialibus utilia, aut speculativis iucunda resecantes. Hic igitur nonnulla circa cubos demonstraturus praemittam aliquot elementares propositiones, quamquam alibi demonstratas, ut sequentia facilius et in promptu magis lectoribus exponantur. Verte igitur paginam et feliciter lege. Nam Trinacriae centrum, cereri gratissima sedes. Hic complet numeros fertilis Enna meos.

2 24^o decembris 1553. [A:41v]

p^a

3 Omnis radix duplicata facit sequentem parem.

4 Haec propositio constat ex diffinitione paris. Nam cum, par numerus sit, qui in duos aequales numeros secari potest, iam nullus non numerus erit alicuius paris dimidius: et perinde duplicatus quilibet numerus parem efficiet. Quod est propositum.

2^a

5 Omnis radix duplicata cum unitate facit sequentem imparem.

6 Nam cum per diffinitionem impar constet ex pari et unitate, par vero per praemissam, ex duplicata radice; iam et impar ex duplicata radice et unitate. Constabit sicut proponitur.

3^a

7 Omnis quadratus cum duplo suae radicis et unitate iunctus conficit sequentem quadratum.

8 Esto unitas a, radix b, ipsius autem b quadratus c. Sequens vero quadratus d qui scilicet fit ex ab toto.

9 Aio quod c cum duplo ipsius b et cum a unitate conficit ipsum d.

10 Nam per 4^am 2ⁱ Euclidis ad numeros relatam, quoniam ab secatur in duos a et b iam ipsius b scilicet c cum a hoc est cum ipsamet unitate, ac duplo eius, quod fit ex a in b hoc est cum duplo ipsius b adaequabitur ^to ipsius ab hoc est ipsi d, sicut demonstrandum proponitur.

4^a

11 Omnis quadratus cum sequente impari coniunctus procreat sequentem quadratum.

12 Namque, per praecedentem, ^tus cum duplo suae radicis et unitate conflat sequentem ^tum. Per antepraemissam vero, duplum radicis cum unitate facit sequentem imparem. Ergo et ^tus propositus cum sequente impari [A:42r] sequentem ^tum procreat, sicut proponitur.

<Corollarium>

13 Manifestum est igitur quod dispositis ab unitate per ordinem imparibus quotlibet: eorum congeries erit quadratus totus quidem ab unitate, quotus ab eadem fuerit postremus impar, hoc est quadratus ipsi postremo impari collateralis.

5^a

14 Omnis parte altera longior quadruplicatus cum unitate conficit quadratum collateralis imparis.

15 Nam parte altera longior constat ex praecedenti quadrato suaque radice: igitur quadruplicatus facit quadruplum talis quadrati, qui² iam ^tus est, et quadruplum praedictae radicis: hoc est duplum radicis³ huic quadrato debitae. Itaque parte altera longior quadruplicatus cum unitate efficit congeriem ex quadrato quodam duploque suae radicis atque ex unitate confectam. Sed per 3^am praemissam, talis congeries erit quadratus. Ergo parte altera longior quadruplicatus cum unitate facit quadratum. Qui cum impar sit, propter unitatis additionem; erit omnino et eius radix impar. Cumque parte altera longiores singuli ex singulis quadratis singulisque radicibus coniunctis constent: iam ex tali quadruplicatione quadratorum singuli pares quadrati: et per duplicati lateris et unitatis additionem singuli, sequentes impares quadrati procreabuntur. Quare omnino numeri parte altera longiores per ordinem dispositi quadruplicati et cum unitate coniuncti singuli, singulorum imparium collateralium per ordinem, dispositorum [A:42v] quadratos procreabunt. Quod est propositum.

6^a

16 Omnis triangulus octuplicatus cum unitate efficit sequentis imparis quadratum.

17 Nam per demonstrata Iordani, omnis ^lus est dimidium sequentis parte altera longioris: per praecedentem vero, omnis parte altera longior quadruplicatus cum unitate conficit collateralis imparis quadratum. Igitur et ^lus octuplicatus cum unitate faciet sequentis imparis ^um. Quod est propositum.

7^a

18 Qui fit ex ductu cuiuslibet radicis in triangulum praecedentem duplicatus et cum quadrato radicis coniunctus conflabit cubum radicis.

19 Sunto quotlibet ab unitate a et per unitatis crementum crescentes numeri bcdef. Sitque radix proposita f. Iam eam radicem praecedens triangulus erit aggregatum ex abcde; quibus totidem numeri singuli singulis aequales, sed inverso ordine applicentur, g scilicet unitas et hklm. Sic enim am bl ck dh eg singuli erunt ipsi f aequales. Quam ob rem ipsi una cum f coniuncti continebunt toties ipsum f quoties ipse f unitatem. Et perinde ipsius f quadratum constituent. Igitur ipse f ductus in aggregatum ex am bl ck dh eg f faciet per diffinitionem cubum ipsius f.

20

21 Sed qui fit ex f in tale aggregatum aequum est, per primam 2ⁱ ei, qui fit ex f in se, hoc est ^to ipsius f eique [A:43r] simul, qui fit ex f in aggregatum ipsorum am bl ck dh eg hoc est duplo eius, qui fit ex f in ^lum abcde pariter acceptis. Igitur cubus ipsius f aequalis erit duplo eius, qui ex f in ^lum praecedentem, atque ^to ipsius f pariter acceptis: quod fuit demonstrandum.

8^a

22 Omnis cubus cum trianguli praecedentis quadrato coniunctus efficit quadratum trianguli collateralis.

23 In praemissa descriptione, cubus qui ex f habet ^lum praecedentem, qui constat ex ipsis abcde. ^lum vero collateralem, qui aggregatum ex ipsis abcdef.

24 Demonstrandum est igitur, quod cubus, qui ex f cum quadrato qui ex toto abcde coniunctus efficit quadratum, qui ex toto abcdef. Et similiter omnis cubus cum sui praecedentis ^li quadrato coniunctus⁴ faciet sui collateralis ^li quadratum. Hoc pacto. Per 4^am secundi Euclidis qui ex toto abcdef aequalis est ^to abcde cum ^to f duploque eius, qui fit ex toto abcde in ipsum f.

25 Sed per praecedentem, duplum eius, qui fit ex toto abcde in ipsum f una cum ^to ipsius f aequum fuit cubo ipsius f.

26 Igitur cubus ipsius f cum totius abcde aequalis erit quadrato totius abcdef.

27 Quod fuit demonstrandum.

28

abcde per praemissam abcdef f cubus f per 4am 2i abcde f

29 Igitur cubus f cum abcde aequalis abcdef. Quod est propositum. [A:43v]

9^a

30 Trianguli cuiuslibet quadratus aequalis est aggregato cuborum ab unitate usque ad cubum sibi collateralem inclusive sumptorum.

31 Proponatur quilibet ^lus ut puta, qui ab unitate a et per unitatem crescentibus bcde constituitur. Cuius quidem ^tus sit⁵ f qui scilicet ex toto abcde in se ducto conflatur.

32 Dico iam quod f aequalis est aggregato⁶ cuborum, qui ab ipsis abcde singulis, fiunt.

33 Quod sic demonstratur.

34 Sit g cubus ipsius e sitque h ^tus totius abcd. Eritque per praecedentem, ipse f aequalis ipsis gh simul sumptis. Rursum sit k cubus ipsius d, sitque l totius abc. Eritque per praemissam h aequalis ipsis kl simul. Item sit m cubus ipsius b sitque n ^tus totius ab. Eritque similiter l aequalis ipsis mn pariter sumptis. Demum sit p cubus ipsius b sitque q hoc est unitas ipsius a unitatis. Eritque non secus n aequalis ipsis pq simul iunctis. Quam ob rem ipse⁷ f aequalis erit ipsis gkmpq simul acceptis, qui sunt ipsorum abcde singulorum cubi. Quod fuit demonstrandum.

35

g 125 f 225   k 64   h 100   m 27   l 36   p 8   n 9   q 1

36

125 64 27 8 1 225

10^a

37 Unitas primum cubum. Duo sequentes impares iuncti sequentem cubum. Tres sequentes tertium cubum. Quatuor succedentes 4^um. Quinque 5^um. Sex 6^um. Septem 7^um. Itaque in infinitum conflabunt.

38 Disponantur ab unitate a per ordinem impares in indefinitum bcdefghklmnopq. Aio quod bc 2^um ab unitate cubum, def 3^um, ghkl 4^um, mnopq quintum, et caetera iuncti conficient. Sit enim ipsorum bc aggregatum r, ipsorum def aggregatum s, ipsorum ghkl t, ipsorum mnopq congeries u. Eritque demonstrandum, quod [A:44r] a erit primus cubus, hoc est unitas, r secundus, s tertius, t quartus et u quintus cubus. Hoc modo. Quoniam ipsi abcdefghklmnopq sunt impares numeri ab unitate per ordinem dispositi, propterea, per corollarium quartae harum, ipsorum arstu aggregatum erit quadratus ab unitate in ordine quindecimus, quoniam postremus impar scilicet q quindecimus est in ordine imparium ab unitate. Itaque tale aggregatum erit quadratus, qui fit a quinto triangulo, hoc est a numero quindenario. Talis ergo quadratus ex praemissa erit aequalis quinque cuborum ab unitate dispositorum cumulo. Et ideo totus arstu numerus erit quinque huiusmodi cuborum congeries. Et per eadem ostendemus quod ipsorum arst aggregatum erit ^tus ab unitate decimus: quandoquidem l decimus impar hoc est quarti ^li qui est numerus denarius. Qui erit congeries quatuor cuborum ab unitate ordinatorum. Quam ob rem, cum arstu sit cumulus quinque cuborum: et arst cumulus 4^or cuborum ab unitate dispositorum; necesse est ut u sit quintus cubus ab unitate. Et similiter, postquam per eadem ostenderimus, quod ars sit cumulus trium cuborum ab unitate: relinquetur t quartus ab unitate cubum. Demum ostenso, quod ar sit duorum cuborum cumulus, supererit s tertius⁸ ab unitate cubus. Cumque a⁹ sit unitas: erit et r alter ab unitate cubus. Sicut ostendendum fuit.

39 Ennae 24^o decembris 1553.¹⁰

40

a bc def ghkl mnopq     r s t v

41

1 8 27 64 125 225

42 [A:44v] Ecce igitur quanto facilius ac brevius ostendimus id, quod Iordanus scabra et fastidiosa demonstratione ostenderat. Lector vale.

43 Trinacriae centrum, cereri gratissima sedes.

44 Hic complet numeros fertilis Enna meos.

45 Ennae ad horam noctis 4^am diei 24 decembris M. D. L. III.