[S:46]

Prolegomena

1 Hoc a principio decrevimus, ingeniose Lector, in hisce nostris numerariis speculationibus, ut non solum obscure ab aliis tradita facilius demonstraremus, sed etiam omissa¹ suppleremus. 2 Ne quid igitur, quod ad² formas numerorum pertinet, desideraretur, sicut pyramidibus et columnis numerarias figuras non unius generis, sicut et planis rectilineis, hactenus assignavimus; ita et quinque illa geometrica solida, quae vulgo regularia³ nuncupantur, adaptatis singula numeris imitabimur: structuram⁴ quidem primo definientes, et inde proprietatem singulorum, atque colligentias⁵ per demonstrationes et exempla⁶ exponentes. 3 Sed, cum quinque sint apud egregios Geometras regularia illa, mirum in modum a Platone celebrata corpora, py[C:52r]ramis vel tetrahedrum, octahedrum, cubus, icosahedrum, atque dodecahedrum; e quibus sicut pyramidem tetrahedrum, ita et cubum hexahedrum quoque a basium numero vocari nemo prohibet. 4 Ex his duae iam in numeris nostris tractata sunt formae, pyramis scilicet in ordine primarum pyramidum, et cubus inter eiusdem ordinis columnas. Sequitur nunc octahedrum, quod semper ex duabus proximis quadratis pyramidibus non aliter quam quadratus⁷ ex duobus proximis triangulis coalescit. 5 Supersunt duo reliqua, quae per numeros non nisi centralia intelligi et construi poterunt: quemadmodum in planis formae secundi ordinis construebantur⁸. Et sicut in planis septanguli et octanguli numeri non, nisi per centrum et ambitum, conflari commode possunt; ita fit in huiusmodi duobus postremis solidis. 6 Item, sicut triangulos, quadratos, pentagonos, et he [S:47] xagonos non solum primi generis, sed etiam centraliter efformavimus ad implendum secundum formarum ordinem; ita et hic licebit reliqua tria priora solida, pyramidem, octahedrum, et cubum centraliter, sicut postrema⁹ duo per numeros configurare. 7 Cum itaque, tam pyramides triangulae, quam cubi primae [C:52v] speciei satis iam superius constructi et expositi sint, et eorum proprietates declaratae; nunc et octahedri numeri eiusdem speciei sic quidem faciliter construentur, si ab unitate exordium capientes, (ut diximus) duas quasque proximas primi generis quadratas pyramides coniungamus: sicuti fit in ipso continuo geometricoque octahedro solido. 8 Cum itaque pyramides quadratae primae huiusmodi se in ordine habeant, ut superius describebantur, iam et octahedri numeri primae speciei singuli et collaterali et praecedenti pyramide coniunctis haud¹⁰ difficilius sub iisdem exarabuntur¹¹. Hoc videlicet pacto.

9 Et eadem aggregatione in infinitum fiet processus, et si non actu, potentia tamen, quae nunquam theorico intellectui negatur. Agendum nunc de solidis regularibus centralibus, in quibus semper unitas in centro ponitur sicut et in planis numeris centralibus. Sed operepraetium est intelligere imprimis quo pacto disponendae sint caeterae unitates, et quibus in locis, ad efformanda, ut decet, talia solida numeralia. 10 Nec dubium quin in singulis, posita unitate centri, tam per singulos solidos angulos, quam per singula [C:53r] basium centra, singulae sint unitates disponendae. Itaque cum pyramis habeat quatuor angulos et totidem bases, habebit cum centrali unitate novem unitates. 11 Cum autem octahedrum ha [S:48] beat sex angulos, et octo bases et centrum, habebit unitates quindecim, et totidem unitates cubus: quandoquidem habet¹² angulos octo et bases sex¹³ et centrum. Unde sicut secundus ab unitate octahedrus, secundo adaequatur cubo, ita et tertius tertio, et quartus quarto, et sequentes sequentibus, singuli singulis in infinitum semper aequales existunt; ut postea demonstrabimus. 12 Deinde cum icosahedrum habeat 12 angulos solidos, bases autem 20¹⁴ et centrum, constituetur ex unitatibus 33; et ex totidem unitatibus dodecahedrus, ut pote qui habet angulos 20, bases 12 et centrum; hoc est secundus icosahedrus secundo dodecahedro aequalis est, et similiter deinde tertius tertio, et quartus quarto, et sequentes sequentibus singuli singulis icosahedri dodecahedris in infinitum semper adaequabuntur propter eandem, quae in octahedro et cubo, reciprocam angulorum et basium numerorum aequalitatem; ut in suo loco in propositionibus ostendemus. 13 Sed quo pacto sequentes solidi numeri, hoc est, [C:53v] sequentium locorum formentur, audi. Nec te, perspicacissime Lector, taedeat ea perpendere, quae ad huiusmodi numerarias formas, ab aliis omissa, et ad speculationis arithmeticae perfectionem maxime spectant. Cognosces enim proprietates earum notatu dignissimas, nec nisi curiosis ingeniis patulas. 14 Imaginor itaque in hisce quinque singulis regularibus solidis, a centro ad angulos educi singulas semidiametros: quae quidem in pyramide erunt quatuor, in octahedro sex, in cubo octo, in icosahedro duodecim, in dodecahedro viginti, quot scilicet sunt solidi anguli, seu vertices solidorum. Deinde in iisdem intelligo linearia latera quae vertices ipsos coniungunt, in pyramide scilicet latera sex, in [S:49] octahedro duodecim, in cubo totidem, in icosahedro triginta, in dodecahedro totidem. 15 Quae quidem, cum semidiametris latera singula binis totidem triangulos continent quot sunt latera. His suppositis, iam nulli obscurum erit inter trina quidem quaelibet¹⁵ huiusmodi triangula pyramides intercipi, quae tot sunt quot ipsius solidi bases: in tetrahedro scilicet pyramides quatuor triangulas, in octahedro octo triangulas, in icosahedro viginti similiter triangulas. 16 At in cubo inter quaterna triangula, pyramides sex quadratas. In dodecahedro [C:54r] inter quina triangula, pyramides duodecim pentagonas. Quibus consideratis, iam constabit, unumquodque horum solidorum construi debere ex unitate centrali, ex unitatibus per semidiametros dispositis, ex numeris triangulis, exque numeris pyramidibus. Hoc modo. 17 Pyramidem, sive tetrahedrum, ex centro, ex quatuor semidiametris, ex senis triangulis, et ex quatuor pyramidibus triangulis. Octahedrum ex centro, ex senis semidiametris, ex duodecim triangulis, et ex octo pyramidibus triangulis. Cubum ex centro, ex octo semidiametris, ex duodecim triangulis, et ex¹⁶ senis pyramidibus quadratis. 18 Icosahedrum ex centro, ex duodecim semidiametris, ex triginta triangulis, et ex 20 pyramidibus triangulis. Dodecahedrum ex centro, ex 20 semidiametris, ex triginta triangulis, et ex 12 pyramidibus pentagonis. 19 Postquam itaque unitas praebet singulis solidis huiusmodi nomen¹⁷: quippe quae nullam non numeri speciem suscipit; iam in secundo loco (ut diximus) pyramis habebit 9 unitates; octahedrus 15; cubus totidem; icosahedrus 33; dodecahedrus totidem. [S:50] Nam centrum cum angulis¹⁸ et basium centris tot unitates suscipiunt. 20 Quo quidem in loco semidiametri sunt ipsae angulorum unitates; trianguli [C:54v] nulli; pyramides vero solae unitates, quae sunt basium centra. Quare hic tam semidiametri, quam pyramides exordium sumunt. Intellige autem semper triangulos primae speciei; pyramides vero secundae: quoniam oportet eas esse centrales. 21 In tertio mox loco crescunt singulae semidiametri per unitatem; trianguli autem exordium capiunt, suntque unitates; pyramides vero sunt, quae unitatem sequuntur: triangulae quinarium singulae, quadratae senarium, ac pentagonae septenarium habentes; in quo quidem loco pyramis constat ex 1, ex quatuor semidiametris, scilicet 8, ex sex triangulis, scilicet 6, et ex quatuor pyramidibus, scilicet 20, quae conficiunt 35. 22 Octahedrus constat ex 1, ex sex semidiametris, scilicet 12, ex duodecim triangulis, scilicet 12, et ex 8 pyramidibus triangulis, scilicet 40, quae conflant 65; et tantundem faciunt unitas, octo semidiametri¹⁹, scilicet 16, ac 12 trianguli, scilicet12, cum sex pyramidibus quadratis, scilicet 36²⁰, pro cubo construendo: nam octahedrus et cubus semper sunt aequales. 23 Icosahedrus fit ex 1, ex²¹ 12 semidiametris, scilicet 24, ex²²30 triangulis, scilicet 30, et ex²³ 20 pyramidibus triangulis, scilicet 100, unde complectitur 155. Et tantundem suscipit huius loci dodecahedrus. Nam [C:55r] unitas, 20 semidiametri, scilicet 40, trianguli 30, scilicet 30, pentagonae²⁴ pyramides²⁵ 12, scilicet 84, simul conflant dictum numerum, scilicet 155. 24 In quarto loco semidiametri singulae habent 3²⁶, trianguli singuli 3, pyramides triangulae singulae 15, quadratae²⁷ 19, pentagonae²⁸ 23; ubi pyramis cum constet ex [S:51] unitate, ex quatuor semidiametris, scilicet 12, ex sex triangulis, scilicet 18, ex quatuor pyramidibus, scilicet 60, habebit 91. 25 Octahedrus autem ex unitate, sex semidiametris scilicet 18, ex 12 triangulis scilicet 36, et ex octo pyramidibus triangulis scilicet 120 constans, habebit 175. Et tantundem cubus: nam unitas, octo semidiametri scilicet 24, duodecim trianguli scilicet 36, et sex pyramides scilicet 114, eundem numerum 175 conficiunt. 26 Item icosahedrus constans ex unitate, ex 12 semidiametris, scilicet 36, ex 30 triangulis, scilicet 90, et ex 20 pyramidibus triangulis scilicet 300, comprehendet 427²⁹. Et tantundem dodecahedrus: nam unitas, viginti semidiametri, scilicet 60, triginta trianguli, scilicet 90, duodecim pyramides pentagonae, scilicet 276, eundem numerum 427 constituunt. 27 In quinto loco semidiametri singulae habent 4, trianguli singuli 6, pyramides triangulae singulae 34, quadratae 44, [C:55v] pentagonae 54; unde aggregatis unitate semidiametris, triangulis, et pyramidibus praedicto sub numero sumptis, constabunt solida quinti loci: pyramis 189, octahedrus ac cubus 369, icosahedrus et dodecahedrus 909. 28 Pro sexto loco semidiameter habet³⁰ 5, triangulus 10, pyramis triangula 65, quadrata 85, pentagona 105. Unde aggregatio repetita faciet pyramidem 341, octahedrum et cubum 671, icosahedrum et dodecahedrum 1661. Pro septimo loco semidiameter habet³¹ 6, triangulus 15, pyramis triangula 111, quadrata 146, pentagona 181; sic ex consueto cumulo fiet pyramis 559, octahedrus et cubus 1105, icosahedrus et dodecahedrus 2743. 29 Pro octavo loco semidiameter habet³² 7, triangulus 21, pyramis triangula 175, [S:52] quadrata 231, pentagona 287; et factis secundum regulam summis, pyramis erit 855, octahedrus et cubus 1695, icosahedrus et dodecahedrus 4215. 30 Pro nono loco, semidiameter sortitur 8, triangulus 28, pyramis triangula 260, quadrata 344, pentagona 428, et peracta more consueto congerie, proveniet³³ pyramis 1241, octahedrus et cubus 2465, icosahedrus et dodecahedrus³⁴ 6137. 31 Pro decimo demum loco, semidiameter habet 9, triangulus 36, pyramis triangula 369, quadrata 486, [C:56r] pentagona 609, ex quorum positione conflabunt summae pyramidis quidem 1729³⁵, octahedri et cubi 3439, icosahedri et dodecahedri 8569; et deinceps, servato semper praecepto, in infinitum invenietur cubus octahedro, et dodecahedrus icosahedro aequales. Quod sic esse, demonstratione postea roborabimus, praemissis necessariis praeambulis. 32 Mox et alias quasdam admiratu dignas proprietates executuri, sicut profundas, et a³⁶ maioribus nostris nunquam hactenus animadversas, quae quidem idcirco praelibata sunt a nobis ingeniose Lector, ut ea, quae demonstraturi sumus, magis tibi pervia sint, sed et solida ipsa usque ad decimum locum collecta hic brevi tabella commonstrabimus, ut dudum traditum structurae modum, exposito exemplo promptius intelligas. Eccam tabellam.

33 Est etiam tertia cuborum species, quos mixtos appellare libuit: eo quod singuli fiant ex mixtione collateralis cubi primi generis et cubi praecedentis, non aliter, quam quadrati [S:53] centrales ex mixtione³⁷ [C:56v] quadrati collateralis et praecedentis primi generis. 34 Sed magis admiraberis³⁸ ingeniose Lector, huiusmodi cubos mixtos esse singulos aequales singulis collateralibus tetrahedris centralibus iam dudum expositis, sicut in fine demonstrabimus. His ergo praemissis, ad ipsorum solidorum diffinitiones veniamus.