Propositio 61^a

1 Sex irrationalium quantitatum residualium, scilicet residui, [C:142r] residui medialis primi, residui medialis secundi, minoris, cum rationali mediale potentis, cum mediali mediale potentis singularum per ordinem singula quadrata sunt singulae sex species residui.

Sicut praecedens sequitur ex demonstratis quinquagesimae nonae et quinquagesimae septimae, ita praesens propositio similiter ex iis quae in quinquagesima nona et quinquagesima octava ostensa sunt, constabit.

Corollarium

2 Hinc manifestum est, quod binomii et residui habentium aequalia nomina, radices inter se habent etiam aequalia nomina; et e contrario, binomium et residuum, quorum radices habent aequalia nomina, sortiuntur etiam inter se nomina aequalia. Idemque de nominibus proportionalibus dicendum. 3 Nam aequalitas nominum in quadratis facit aequalitatem nominum in radicibus; et e contrario; proportio vero proportionem, sicut per processum demonstrationis quinquagesimae septimae et quinquagesimae octavae constare potest. Nunc exponam hic sex species binomiorum, et totidem earum radices, quae sunt sex irrationales quantitates. [S:145]

4 Binomia sex ........ Quarum radices sunt totidem irrationales quantitates scilicet bimembres

Primum 7 p r40 ..... Binomium r5 p r2

Secundum r18 p 4 ..... Bimediale primum rr8 p rr2

Tertium r27 p r24 ..... Bimediale secundum rr12 p rr3

Quartum 6 p r8 ..... Maior rv 3 p r7 p rv 3 m r7

Quintum r32 p 4 ..... Potens rationale et mediale rv r8 p 2 p rv r8 m 2

Sextum r24 p r8 ..... Potens duo medialia rv r6 p 2 p r¹v r6 m 2

[C:142v] Ex quibus, per abscissionem minoris membri a maiore, fient tam in binomiis quam in eorum radicibus, totidem residua hoc modo².

5 Residua sex ........ quorum radices totidem residuales irrationales scilicet.

Primum 7 m r40 ..... Residuum r5 m r2

Secundum r18 m 4 ..... Residuum mediale primum rr8 m rr2

Tertium r27 m r24 ..... Residuum mediale secundum rr12 m rr3

Quartum 6 m r8 ..... Minor rv³ 3 p r7 m rv 3 m r7

Quintum r32 m 4 ..... Cum rationali mediale potens rv r8 p 2 m rv r8 m 2⁴

Sextum r24 m r8 ..... Cum mediali mediale potens rv r6 p 2 m rv r6 m 2⁵

Sic habes exempla practica eorum quae demonstrata sunt.