Propositio 48^a

1 Omnes duae quantitates proportionales duabus quantitatibus quoquo modo commensurabilibus, sunt eodem modo commensurabiles. Et proportionales duabus aliquo modo incommensurabilibus, sunt eodem modo incommensurabiles.

Exempli gratia, sint quantitates ab ipsis cd quantitatibus inter se commensurabilibus proportionales: hoc est sit a ad b sicut c ad d. 2 Aio, quod ab erunt invicem commensurabiles. Nam si cd sunt commensurabiles, erunt per quadragesimam tertiam¹ huius, sicut numerus ad numerum. Igitur erit a ad b sicut numerus ad numerum; quare per secundam partem dictae quadragesimae tertiae ab sunt inter se commensurabiles. Quod si cd sint incommensurabiles², aio, quod et ab inter se incommensurabiles erunt. 3 Nam tunc per Corollarium quadragesimae tertiae huius cd³ non erunt sicut numerus ad numerum, et ideo neque a ad b erit sicut numerus ad numerum: et perinde per secundam partem dicti corollarii ab tunc incommensurabiles inter se erunt sicut proponitur. Item si cd ponantur autem potentia tantum, aut cubo tantum, aut quadrato secundo tantum commensurabiles, eodem penitus modo et ipsae ab commensurabiles erunt. 4 Si autem cd⁴ [C:132v] aliquo dictorum modorum ponantur incommensurabiles, eodem similiter modo et ipsae ab incommensurabiles erunt. Quoniam scilicet quantitatum proportionalium proportionalia sunt tam quadrata, quam cubi, et quam secunda quadrata. Et idcirco sequitur eorum commensurabilitas, vel incommensurabilitas, quippe quae comitatur proportionem, adducta quadragesima tertia⁵ et eius corollario.