[S:100]

Propositio 14^a

1 Duas propositas quantitates potentia tantum, vel cubo tantum, vel secundo quadrato tantum rationales, invicem commensurabiles invicem coniungere, vel alteram ab altera subtrahere.

Quoniam duae quantitates commensurabiles invicem supponuntur, erunt sicut numerus ad numerum; sint ergo sicut numerus a ad numerum b quarum maior b et horum numerorum aggregatum sit c, differentia vero d. Item ipsorum ab quadrati sint ef cubi gh quadrati secundi kl. 2 Quantitates autem propositae si potentia tantum sint rationales, sint earum potentiae seu quadrata mn. Si autem cubo tantum rationales, earum cubi sint pq. Si tandem quadrato secundo rationales, earum quadrata secunda sint rs. Ipsae autem quantitates sint tx, et quoniam tx sunt adinvicem sicut numeri ab ad invicem, necesse est ut et mn ipsis ef¹ et ipsi pq ipsis gh nec non ipsi rs ipsis kl sint proportionales. 3 Quoniam scilicet quantitatum proportionalium tam quadrata adinvicem, quam cubi adinvicem² et quam secunda³ quadrata ad invicem et deinde⁴ pares dignitates semper proportionales sunt; propterea videlicet, quod quadrata duplicant, cubi triplicant, quadrata secunda quadruplicant, et sic deinceps, proportiones radicum. Hinc sequitur quoniam per coniunctam, et eversam proportionem, sicut est c numerus ad d numerum aggregatum scilicet ab ad eorum differentiam, sic est aggregatum quantitatum tx ad earum differentiam. 4 Idcirco, et talium aggregatorum quadrata, talium differentium⁵ quadratis, et cubi cubis, et secunda quadrata secundis quadratis proportionalia erunt, et deinceps sequentia. Unde sicut est m numerus ad e numerum, sive sicut n numerus ad f numerum, hoc est sicut quadrata singularum quantitatum tx ad quadratos singulos numerorum ab, sic erit quadratum aggregati quantitatum tx ad quadratum ipsius c nec non sic erit quadratum differentiae quantitatum tx ad quadratum ipsius d. 5 Idemque de cubis, et de secundis quadratis dicendum. Quando⁶ igitur quantitates tx notae sunt per quadrata mn tantum tunc sicut est m ad e sic sit y numerus ad quadratum ipsius c. Item sic sit z numerus ad quadratum ipsius d. Nam ex iam demonstratis y numerus erit quadratum aggregati⁷ ipsarum tx. Et z [C:100v] numerus erit quadratum differentiae ipsarum tx. 6 Sic notescit per quadrata tam congeries, quam excessus propositarum quantitatum. Quando⁸ autem quantitates tx cubo tantum sunt rationales, tunc similiter quaeretur earum tam congeries, quam excessus per cubos. Si demum quadrato secundo tantum rationales, tunc talis congeries et excessus per secunda quadrata notificabitur. [S:101]

COROLLARIUM

7 Ex quibus manifestum est, huiusmodi duarum quantitatum tam aggregatum, quam differentia, semper est quantitas unius nominis et utrique ipsarum commensurabilis.