Propositio 7^a

1 Duabus quantitatibus inaequalibus¹ propositis, minorem a maiori subtrahere.

Si propositae quantitates singulis denotentur numeris, tunc numerus minor subtrahatur a maiori. Nam relictus numerus erit is, qui significat quantitatem, quae superest post subtracti [C:91r] onem minoris quantitatis a maiori per secundam huius. 2 Si autem propositae quantitates, quarum altera ab altera subtrahenda est, singulae binis exprimantur numeris, sint ipsae tunc ab maior, et cd minor, quarum numeratores sint ac, denominatores bd, ita ut oporteat quantitatem cd subtrahere a quantitate ab. Ducatur a in d et fiat e; deinde b in c et fiat f. Mox subtrahatur ab e numerus f et reliquum sit g. 3 Ducatur demum b in d et fiat h. Eritque quantitas gh cuius numerator g denominator h quae relinquitur post subtractionem ipsius cd quantitatis ab ipsa quantitate ab. Cum enim d multiplicans singulos ab faciat singulos eh, erit, per primam huius, sicut a ad b sic e ad h; et similiter quoniam b multiplicans singulos cd facit singulos fh, ideo sicut c ad d sic f ad h. Quare per corollaria diffinitionum, quantitas eh ipsi ab et quantitas fh ipsi cd aequalis erit. 4 Et quoniam h numerus est communis earum denominator, ideo per tertiam² huius, ipsae quantitates eh fh sunt ad invicem sicut ef numeratores. Quamobrem excessus numeratorum scilicet g numerus significabit quantitatum³ eh fh differentiam, hoc est ipsa gh quantitas erit talis differentia sicut erat demonstrandum. Quod si propositarum quantitatum altera tantum binis [C:91v] notetur numeris, tunc reliquae supplendus est numerus [S:92] denominator: qui quidem in quantitatibus ad positam multiplicibus⁴ semper est unitas, integritatem positae ac non divisae significans. 5 Item notandum tam in praesenti, quam in praecedenti propositione, quod quantitates, quae ad positam multiplices sunt, et insuper superparticulares⁵, aut superpartientes⁶ redigendae sunt ad partes; ita ut singulae binis significentur numeris, atque modus demonstrandi locum habeat.

COROLLARIUM

6 Hincconstabit, propositis duabus quantitatibus, utra sit maior.