• Varietà lisce. Partizioni dell'unità. Spazio tangente. Differenziale. Immersioni, embedding e sottovarietà. Fibrati vettoriali. Fibrato tangente e cotangente. Fibrati tensoriali. Sezioni di fibrati e campi vettoriali. Parentesi di Lie. Orientabilità. Foliazioni. Intorno tubolare. Omotopia e isotopia. Trasversalità. Teoremi di immersione e embedding di Whitney.
• Forme differenziali. Differenziale esterno. Integrazione. Teorema di Stokes. Coomologia di de Rham. Successione di Mayer-Vietoris. Dualità di Poincaré. Teorema di Kunneth (senza dimostrazione).
• Varietà pseudo-Riemanniane. Connessioni su fibrati. Derivata covariante lungo una curva. Trasporto parallelo. Connessione di Levi-Civita. Geodetiche. Mappa esponenziale. Intorni normali. Lunghezza di una curva. Le geodetiche sono le curve localmente minimizzanti. Lemma di Gauss. Teorema di Hopf-Rinow. Curvature Riemanniana, sezionale e di Ricci. Campi di Jacobi. Teorema di Cartan - Hadamard. Varietà simmetriche e a curvatura costante.
• Gruppi di Lie. Algebre di Lie.

Prerequisiti:

I corsi obbligatori della laurea triennale. Saranno fondamentali in particolare l'analisi in piu' variabili e la topologia. E' consigliato, ma non necessario, aver gia' seguito il corso di Geometria e Topologia Differenziale.

Lezioni in presenza e on line:

Il corso si svolge in Aula Magna, trasmesso su Microsoft Teams su questo canale e registrato. Useremo anche la pagina e-learning per le comunicazioni. Gli studenti sono invitati ad iscriversi prima possibile.

Per assistere alle lezioni in presenza è necessario iscriversi ogni volta perché i posti sono limitati (25). Per iscrivervi andate sul canale di Microsoft Teams, cliccate su "Studenti in presenza" e aggiungete il vostro nome alla lista. Le iscrizioni chiudono la sera prima della lezione (per favore non vi iscrivete il giorno stesso).

La prima lezione è Giovedì 25 febbraio.

Bibliografia:

• Note sul corso che prima o poi si trasformeranno in un libro. PER FAVORE segnalatemi via email gli errori che sono sicuramente presenti, che siano di matematica o semplici errori ortografici. Grazie.

• R. Bott, L. W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology.
• M. Do Carmo, Riemannian Geometry.
• O' Neill, Semi-Riemannian geometry with applications to Relativity.

Esame:

L'esame prevede uno scritto e un orale. L'orale e' approfondito e su tutto il programma.

Compitini:

La/o studente puo' decidere di svolgere dei compitini a casa al posto dello scritto, nel modo seguente. Il sabato di ogni settimana vengono messi in questa pagina degli esercizi.

• Esercizi settimanali (questo file viene aggiornato il sabato di ogni settimana).

Alcune regole e osservazioni:

A. Gli esercizi a casa servono per due scopi: 1) Allenarsi continuamente e quindi seguire meglio il corso, che contiene tanta teoria. 2) Imparare a comunicare la matematica. Verra' valutata molto la chiarezza di esposizione. In particolare non verranno corretti esercizi poco o faticosamente leggibili. Considerate che il docente correggerà circa 60 * 11 * 3 = 2000 esercizi e non puo' perdere tempo a decifrare geroglifici. Si prega di tenere questo punto in seria considerazione.

B. Questo canale è riservato a chi segue il corso. Non voglio essere troppo formale su cosa voglia dire "seguire il corso": vuol dire seguire le lezioni e studiare con regolarità. I compitini andranno spediti via mail al docente (oppure tramite qualche altra piattaforma che sceglieremo in seguito). Possono essere scritti sia a mano che in LateX. Nel primo caso, la riproduzione deve essere decente (va bene la foto da cellulare, ma fatta in modo da sembrare simile ad una scannerizzazione).

C. E' lecito e perfino consigliato svolgere gli esercizi in gruppo, consultare libri e appunti trovati in rete. In questo caso dovete però scrivere chi vi ha aiutato e quali fonti avete utilzzato. In ogni caso lo/a studente deve aver pensato autonomamente al problema, aver ben assimilato la soluzione e scriverla con parole sue.

D. I compitini corretti vengono riconsegnati dal docente via mail. Verra' scritto anche un voto (O = Ottimo, MB = Molto Buono, B = Buono, D = Discreto, S = Sufficiente, I = Insufficiente) che pero' non avra' nessuna conseguenza sul voto dell'esame finale: serve solo per permettere alla/o studente di migliorarsi.

E. Questo canale può essere usato una volta sola, quindi chi ha consegnato i compitini fino in fondo negli anni passati non può partecipare.

F. Chi ha fatto i compitini e non ha mai preso una insufficienza in questi può fare l'orale in una delle sessioni estive e autunnali, fino a settembre incluso. Dovra' iscriversi all'orale (non allo scritto) sulla pagina web di iscrizione agli esami.

G. Chi non passa l'orale o rifiuta il voto poi deve fare lo scritto (piu' in generale, perde qualsiasi privilegio dovuto al fatto di aver fatto i compitini).

Le consegne sono le seguenti:

• Entro martedi 30 marzo andranno consegnati 3+3+3=9 esercizi delle prime 3 settimane (che finiscono i giorni 27 febbraio, 6 e 13 marzo).
• Entro martedì 27 aprile andranno consegnati 3+3+3=9 esercizi delle seconde 3 settimane (che finiscono i giorni 20, 27 marzo e 3 aprile).
• Entro martedi 25 maggio andranno consegnati 3+3+3=9 esercizi delle terze 3 settimane (che finiscono i giorni 17, 24 aprile e 1 maggio).
• Entro martedì 15 giugno andranno consegnati 3+3+3=9 esercizi delle quarte 3 settimane (che finiscono i giorni 8, 15 e 22 maggio). Chi vuole fare l'orale il 15 giugno è pregata/o di consegnare entro il 12 giugno.

Compiti scritti:

Durante il compito scritto la/o studente non puo' consultare libri ne' appunti. Le date per i prossimi scritti sono

• venerdi 11 giugno, ore 9.00, in forma telematica. Gli orali inizieranno mercoledi 15 giugno alle 9 in presenza (in Aula C - Polo Fibonacci) e in forma telematica. E' fortemente consigliata la presenza a chi abita in zone vicine. E' richiesta l'iscrizione all'orale solo di chi ha fatto i compitini.
• martedi 6 luglio, ore 9.00, in forma telematica. Gli orali inizieranno mercoledi 7 luglio alle 9 in presenza (in Aula Magna) e in forma telematica. E' fortemente consigliata la presenza a chi abita in zone vicine. E' richiesta l'iscrizione all'orale solo di chi ha fatto i compitini.
• martedi 14 settembre, ore 10.00. Gli orali inizieranno mercoledi 15 settembre alle ore 9. Scritto e orale saranno in presenza. E' richiesta l'iscrizione all'orale solo di chi ha fatto i compitini.

Chi ha fatto i compitini puo' fare l'orale in una delle sessioni descritte, fino a settembre incluso. Dovra' iscriversi all'orale (non allo scritto) sulla pagina web di iscrizione agli esami.

L'iscrizione ad uno scritto annulla automaticamente i compitini. Se vi siete iscritti per sbaglio scrivetemi.

Chi fa il compito deve fare l'orale nella stessa sessione del compito.

Compiti passati:

• Compito 1 anno 2017
• Compito 2 anno 2017
• Compito 3 anno 2017
• Compito 4 anno 2017 (la data e' sbagliata)
• Compito 5 anno 2017
• Compito 1 anno 2018
• Compito 2 anno 2018

Lezioni:

• Martedi' 11-13.30 in Aula Magna (e su Microsoft Teams)
• Giovedi' 11-13.30 in Aula Magna (e su Microsoft Teams).

Il registro delle lezioni e' consultabile qui.