• Varieta' differenziabili. Applicazioni differenziabili. Partizioni dell'unita'. Spazio tangente. Differenziale. Immersioni, embedding e sottovarieta'. Fibrati vettoriali. Fibrato tangente e cotangente. Fibrati tensoriali. Sezioni di fibrati e campi vettoriali. Parentesi di Lie. Orientabilita'. Rivestimento doppio di una varieta' non orientabile.
• Forme differenziali. Differenziale esterno. Teorema di Stokes. Coomologia di de Rham. Successione di Mayer-Vietoris. Dualita' di Poincare' (senza dimostrazione). Teorema di Kunneth (senza dimostrazione). Fasci. Coomologia di Cech. Teorema di de Rham.
• Connessioni su fibrati. Derivata covariante lungo una curva. Sezioni parallele e trasporto parallelo. Metriche Riemanniane. Isometrie e isometrie locali. Connessione di Levi-Civita. Geodetiche. Mappa esponenziale. Intorni normali e uniformemente normali. Lunghezza di una curva. Distanza Riemanniana. Formula per la prima variazione della lunghezza d'arco. Le geodetiche sono le curve localmente minimizzanti. Lemma di Gauss. Teorema di Hopf-Rinow (senza dimostrazione). Curvature Riemanniana, sezionale e di Ricci (senza dimostrazioni).

Prerequisiti:

I corsi obbligatori della laurea triennale. Saranno fondamentali in particolare l'analisi in piu' variabili e la topologia. E' consigliato, ma non necessario, aver gia' seguito il corso di Geometria e Topologia Differenziale.

Bibliografia:

• Note sul corso.

  Questa e' la versione definitiva delle note alla fine del corso. PER FAVORE segnalatemi via email gli errori che sono sicuramente presenti, che siano di matematica o semplici errori ortografici. Grazie.

• M. Abate, F. Tovena, Geometria differenziale, Springer Italia, Milano, 2011.
• R. Bott, L. W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology.
• M. Do Carmo, Riemannian Geometry.
• J. Lee, Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature.

Esame:

L'esame prevede uno scritto e un orale. L'orale e' approfondito e su tutto il programma.

Compitini:

Lo/a studente/ssa puo' decidere di svolgere dei compitini a casa al posto dello scritto, nel modo seguente. Ogni settimana vengono messi in questa pagina degli esercizi:

• Esercizi settimanali (questo file viene aggiornato il sabato di ogni settimana).

E' lecito chiedere aiuto ad altri e consultare libri e appunti trovati in rete. In questo caso dovete pero' scrivere chi vi ha aiutato e quali fonti avete utilizzato. In ogni caso lo studente deve aver ben assimilato la soluzione e scriverla con parole sue.

I risultati finali dei compitini sono qui.

Compiti scritti:

Durante il compito scritto lo studente non puo' consultare libri ne' appunti. Le date per gli scritti:

• Martedi 13 giugno, ore 10, aula P1.
• Martedi 11 luglio, ore 10, aula P1.
• Martedi 5 settembre, ore 15, aula L. Per gli orali ci saranno due appuntamenti, a scelta dello studente:
  • Mercoledi' 6 settembre, ore 11 in Aula Riunioni.
  • Mercoledi' 13 settembre, ore 9.30 in Aula Riunioni.
• Venerdi' 19 gennaio, ore 9.00 in Aula L. Risultati. Gli orali inizieranno giovedi' 25 gennaio alle ore 9 in Aula Riunioni.
• Venerdi' 9 febbraio, ore 9.00 in Aula L Risultati. Gli orali saranno mercoledi' 21 febbraio alle ore 17 nel mio studio (242).

Chi fa il compito deve fare l'orale nella stessa sessione del compito.

Lezioni:

• Martedi' 11-13 in aula N,
• Giovedi' 9-11 in aula N,
• Venerdi' 14-16 in aula N.

Il registro delle lezioni e' consultabile qui.