PROPOSITIO XVIIII

124 Quod si in duobus triangulis rectangulis ex arcubus circulorum maiorum in superficie sphaerae sinus aggregati arcuum acutum angulum compraehendentium in uno triangulo ad sinum arcus differentiae eorum fuerit sicut sinus aggregati arcuum angulum continentium in altero triangulo ad sinum arcus differentiae eorum: tunc ipsi acuti anguli aequales ad invicem erunt.

125 In eadem descriptione sit sinus aggregati³⁰ arcuum ba ac ad sinum differentiae eorumdem arcuum sicut sinus aggregati arcuum ed df³¹ ad sinum³² differentiae eorumdem arcuum: dico tunc quod anguli acuti a d aequales erunt. 126 Nam cum per 17^m praemissam, in utrolibet triangulorum abc def sinus talium arcuum, quorum unus aggregatum, alter differentia est arcuum continentium angulum acutum, proportionales sint sinibus versis ipsius acuti anguli praedicto modo receptis: iam sinus versi angulo a debiti proportionales erunt sinibus versis anguli d. 127 Quare coniunctim, aggregata sinuum³³ versorum erunt sinibus correlativis proportionalia. Hoc est, sicut aggregatum sinuum versorum anguli acuti a ad sinum versum anguli a sic aggregatum sinuum versorum anguli acuti d ad sinum versum anguli d. 128 Sed tam illud aggregatum, quod hoc est per diffinitionem sphaerae, igitur diameter sphaerae eandem rationem habet ad sinum versum anguli a et ad sinum versum anguli d. 129 Aequales ergo sunt tales sinus versi et idcirco sinus secundi primique eorundem angulorum aequales, et anguli ipsi a d aequales erunt. Quod fuit demonstrandum.