39.^a

Triangulum, cuius latera singula dantur magnitudine, datur specie.

Nam per 22^am Primi Elementorum, ex talibus lateribus construitur triangulum propositum⁷ aequilaterum et aequiangulum: et ideo propositum triangulum per tertiam diffinitionem datur specie.

40.^a

21 Triangulum, cuius anguli singuli magnitudine dantur, datur specie.

Nam per 23^am Primi faciam triangulum proposito aequiangulum: cuius per 4^am Sexti, latera proportionalia erunt lateribus propositi trianguli: igitur, per 3^am diffinitionem propositum triangulum datur specie.

41.^a

22 Triangulum, cuius unus angulus datur et laterum illum angulum comprehendentium ratio data: datur specie.

Patet per 6^am Sexti et diffinitionem praedictam.

42.^a

Triangulum, cuius laterum inter se datur ratio, datur specie.

Patet per 5^am Sexti, et diffinitionem praedictam.

43.^a

23 Triangulum, cuius unus angulus datur, et duorum laterum alium angulum continentium ratio data: reliquus vero angulus, aut rectus, aut maior, minorve recto fuerit: datur specie.

Patet per 7^am Sexti et diffinitionem praefatam.

45.^a

24 Triangulum, cuius unus angulus datur et aggregatum duorum laterum dictum⁸ angulum continentium ad reliquum latus rationem habet datam: datur specie.

Ut si triangulum abc habeat datum angulum abc et laterum ab, bc congeries datam habeat rationem ad latus ac. Dico quod triangulum abc datur specie.

Producatur enim ab usque ad d ita ut bd [A:3v] sit ipsi bc aequalis: et coniungatur cd. // 25 Et quoniam abc angulus datur, dabitur angulus cbd. Igitur et reliqui anguli in triangulo bcd isoscele dantur, scilicet angulus bcd et angulus cdb⁹. Sed per hypothesim ratio da ad ac datur, ergo per 5^am10 huius, datur acd triangulum specie. Igitur angulus a datur: ergo et reliquus angulus acb datur. Quare per 22^am11 huius, datur triangulum abc specie.

46.^a

26 Triangulum, cuius unus angulus datur: et aggregatum duorum laterum alium angulum continentium ad reliquum latus rationem habet datam, datur specie.

Ut si triangulum abc habeat angulum a datum, et aggregatum laterum ab, bc ad latus ac rationem datam. Dico quod triangulum abc datur specie. Producatur ab ponaturque ipsi bc aequalis bd et coniungatur cd. Itaque per hypothesim da datam rationem habet ad latus ac et angulus a datur. 27 Igitur per 23^am12 huius triangulum acd datur specie: quare eius angulus d datur in triangulo bcd isoscele: ipsique aequalis bcd et perinde reliquus cbd angulus. Et ex hoc, eius intrinsecus abc. Quare cum et a angulus per hypothesim detur, dabitur et reliquus acb. Et ideo per 22^am13 huius, triangulum abc specie datur.

[A:4r] 47.^a

Omne rectilineum specie datum in triangulos specie datos distinguitur.

28 Descriptis¹⁴ in proposito rectilineo triangulis universis: constat propositum per 20^am15 tertiam huius toties repetitam, quot fuerint triangula.

48.^a

Triangula specie data super eandem lineam descripta datam ad invicem habent rationem.

Quoniam sunt ad invicem, sicut celsitudines, quae datam habent rationem inter se, eam scilicet, quam latera correlativa.

49.^a

29 Rectilinea specie data super eandem lineam descripta datam ad invicem habent rationem.

Singula enim rectilinea secantur in triangulos specie datos per antepraemissam et per praemissam datur ratio inter se triangulorum: hinc per aequam et coniunctam proportionem, totius ad totum rectilineum ratio dabitur.

50.^a

30 Similia rectilinea super lineas datam inter se rationem habentes descripta, datam invicem rationem habent.

Siquidem duplam correspondentium laterum, per 18^am Sexti.

51.^a

Rectilinea specie data super lineas datam inter se rationem habentes descripta, datam invicem rationem habent.

Absolvitur, sicut antepraemissa.

52.^a

31 Rectilineum specie datum super data magnitudine lineam descriptum, datur magnitudine.

Patet, describendo quadratum super eandem lineam: quod per 49^am datam habebit rationem ad rectilineum: quare cum detur quadratum magnitudine, dabitur et rectilineum.

53.^a

32 Duabus figuris specie datis: per datam duorum correlativorum laterum rationem, datur inter reliqua ratio.

<54.^a16>

Item per datam figurarum rationem dabitur laterum ratio.

[A:4v] 33 Harum utraque absolvitur, ad unam figuram applicando figuram alteri similem, per aequam proportionem.

55.^a

Rectilinei specie et magnitudine dati, dantur latera singula magnitudine.

34 Patet per 25^am Sexti describendo rectilineum sub specie et magnitudine data.