[A:19r] ELEMENTORUM SEPTIMUS

1 Unitas, qua unumquodque unum dicitur.

Numerus autem unitatum multitudo.

Numerus numerum multiplicare dicitur, quis multiplicatus¹ toties productum numerat, quoties ab unitate numeratur ipse multiplicans. 2 Unde tunc et permutatim quoties unitas multiplicatum, toties multiplicans numerat productum. Quare multiplicans et multiplicatus nomina permutare possunt. Aut, si lubet, nomine communi multiplicantes appellari. Unde manifestum est, quod productus in alterutrum multiplicantum divisus exhibet in quotiente reliquum.

3 Planus ergo, sive superficialis numerus est ipse productus. Latera vero multiplicantes numeri.

Quadratus numerus est planus sub aequis lateribus contentus.

Unde quilibet numerus in se multiplicatus quadratum facit, et eius radix quadrata consuevit appellari. Quadratus ergo in suam radicem divisus eandem in quotiente reddit.

4 Solidus numerus est, qui ex multiplicatione plani in tertium latus quodlibet producitur.

Cubus sive cubicus numerus est, qui ex multiplicatione radicis in suum quadratum gignitur. Hoc est, solidus numerus, sub tribus aequis lateribus contentus. 5 Unde sicut solidus quilibet in unum trium laterum divisus, exhibet in quotiente planum sub reliquis duobus lateribus contentum. Et e converso. Sic et cubus in radicem divisus reddit in quotiente quadratum. Et e converso.

Quadratus secundus appellatur quadratus quadrati. Hoc est, qui a primo quadrato in seipsum ducto procreatur. Hoc est, cuius radix est numerus quadratus.

6 Similes plani, vel similes solidi numeri sunt, quorum latera proportionalia.

Unde quadrati numeri plani similes. Et cubi numeri solides similes dicuntur². [A:19v]

Reciproci plani sunt, quorum latera sunt in reciproca ratione, sive vicissim proportionalia.

7 Perfectus numerus est, qui aggregato suarum partium est aequalis. Ut ait Euclides.

Propositiones

1^a

Omnes duo numeri mensurantur ab unitate, et ideo sunt ad invicem commensurabiles.

2^a

8 Duorum numerorum ratio nominata est. Quia scilicet numerus ad numerum collatus vel est aequalis, vel multiplex. Vel superparticularis. Vel superpartiens. Vel multiplex superparticularis. Vel multiplex superpartiens. In ratione sui nominis.

3^a

9 Quidquid ergo in quinto de rationibus ac proportionibus universaliter, aut nominatis ostensum est; id omne ad numeros spectat.

4^a

Duorum propositorum numerorum maximam mensuram invenire.

Sunto duo numeri ab, cd: volo invenire maximum numerum eos numerantem. 10 Horum minor, qui sit cd metiatur, quoties potest, maiorem ab et supersit be. Qui rursum metiatur, quoties potest, ipsum cd et supersit fd. Qui adhuc metiatur ipsum eb et nihil supersit. Dico quod fd est maxima communis ipsorum ab, cd mensura. Cum enim fd metiatur ipsum eb iam metietur et ipsum cf (quem metiebatur ipse eb). 11 Ergo metietur totum cd. Ergo et ipsum ae (quem metiebatur ipse cd) Quare metietur totum ab quoniam metiebatur ablatum eb. Igitur fd mensura communis est ipsorum ab, cd neque maior aliquis numerus eos metitur. Nam, si maior numerus, quam fd metitur ipsos ab, cd sit ipse g qui quoniam mensurat ipsum cd metietur ipsum ae mensuratum ab ipso cd cumque [A:20r] metiatur totum ab metietur relictum eb. 12 Et ideo ipsum cf mensuratum ab ipso eb cumque metiatur totum cd iam metietur et relictum fd maior minorem, quod est impossibile.

Corollarium

Quando igitur nullus maior numerus quam unitas metitur duos numeros: illi numeri primi dicuntur ad invicem. Et numerus quem sola unitas metitur, primus dicetur.

13 Hinc manifestum est, quod quicumque numerus numerat duos numeros, numerat maximam eorum mensuram. Similiter³ ergo trium vel plurium numerorum maxima mensura comperietur.

5^a

Si numerus duos multiplicet: producti sunt multiplicatis proportionales.

14 Numerus a multiplicet bc et producat de. Dico tunc quod sicut est b  c sic d  e. Cum enim a multiplicans b faciat d. Et multiplicans c faciat e. Erit per diffinitionem multiplicationis, sicut unitas  a sic b  d et sic c  e. Ergo permutatim, sicut b  c sic d  e quod est propositum.

Corollarium

15 Hinc manifestum est quod aggregatum productorum quotlibet est productum multiplicantis in aggregatum multiplicatorum.

Idem concludit prima secundi de linearum productis. Et ex hac, novem sequentes in secundo propositiones, eodem argumentationis ordine, a lineis ad numeros transferri possunt.

6^a

16 Planorum numerorum ratio ex duabus singulorum unius ad alterius latera singula⁴ rationibus componitur. [A:20v] // Ut si ex a in b fiat c planus. Et ex d in e fiat f planus. Dico quod ratio c  f componitur ex rationibus a  d et b  e. 17 // Fiat enim ex a in e numerus g. Et tunc quoniam a multiplicans ipsos be producit ipsos cg⁵ erit sicut b  e sic iam c  g⁶ per praecedentem. Et similiter, quoniam e multiplicans ipsos ad producit ipsos gf. Erit, per praemissam, sicut a  d sic iam g  f. Igitur ex aequali, ratio c  f componetur ex rationibus a  d et b  e. Quod est propositum.

a b  c e  g

e

a  g d  f7

18 Hinc manifestum est, quod si plani numeri fuerint similes; erit eorum ratio, sicut respondentium laterum ratio duplicata. Unde et ratio quadratorum numerorum erit, sicut ratio laterum duplicata. Et⁸ e converso duplicitas rationum faciet similitudinem.

19 Plani autem, quorum laterum fuerint: reciproca⁹ erunt invicem aequales. Et e converso aequalitas planorum arguet reciprocationem laterum. Quamvis contingat¹⁰ tunc unum ex planis esse quadratum.

Et ex hoc 2^o sequitur tertium corollarium: ut in quatuor numeris proportionalibus, planus productus ab extremis erit plano sub mediis contento aequalis. 20 Et e converso talis dictorum planorum aequalitas laterum faciet proportionem.

Demum in tribus numeris continue proportionalibus, planus extremorum aequalis erit me[A:21r]diae quadrato. Contra vero, talem aequalitatem sequetur numerorum continua proportio.

7^a

21 Solidorum ratio componitur numerorum, ex tribus rationibus singulorum unius laterum ad alterius latera singula¹¹.

Ex ab¹² numerorum ductu fiat c planus. Ex de numerorum multiplicatione, producatur f planus. Rursus c in h faciat ipsum l. Et ipse f in k ductus ipsum m. 22 Sic enim, ipsi lm per diffinitionem erunt¹³ solidi numeri. Quorum latera abh et dek ostendendum est quod ratio l  m componitur ex tribus rationibus scilicet a  d, b  e, h  k. Nam per praemissam ratio c  f componitur ex rationibus a  d et b  e. Item ratio l  m componetur ex rationibus c  f et h  k. 23 Igitur ex aequo ratio l  m componetur ex tribus rationibus scilicet a  d, b  e, h  k quod est propositum.

ratio l  m c  f a  d b  e h  k

24 Unde sequitur, ut similium solidorum numerorum ratio sit triplicata ad respondentium laterum rationem. Et ut cuborum numerorum ratio triplex sit ad rationem laterum. Contra talem rationum triplicitatem concomitabitur solidorum similitudo.

8^a

25 Unitas, radix, quadratus, cubus et secundus quadratus, sunt continue proportionales.

Nam ex diffinitione, cum radix in se ducta faciat quadratum: et rursus in quadratum ducta gignat cubum, erit per diffinitionem multiplicationis, quoties unitas in radice, toties radix in quadrato. 26 Et toties quadratus in cubo. Igitur unitas, radix. quadratus et cubus erunt continue proportio[A:21v]nales. Continuetur his quatuor numerus quintus in proportione continua. Eritque ex aequali proportione¹⁴, sicut unitas ad quadratum sic quadratus ad dictum quintum. Quare quadratus in se ductus faciet quintum. Igitur per diffinitionem quintus erit secundus quadratus. 27 Qui cum prioribus quatuor continuam facit proportionem verum ergo fuit quod proponebatur unitatem, radicem, quadratum, cubum, ac secundum quadratum esse continue proportionales.

12 februarii

9^a

28 Dispositis ab unitate numeris continue proportionalibus. Tunc eorum tertius, quintus, septimus et sequentes uno semper intermisso singuli quadrati erunt. Item quartus, septimus, decimus et sequentes binis semper intermissis singuli, cubi erunt. Demum septimus, tertius decimus, undevicesimus et sequentes, quinis semper intermissis, singuli cubi quadratique simul erunt.

29 Esto a unitas et b, c, d, e, f, g continuatim proportionales et deinceps quotcumque¹⁵ ad libitum. Dico iam quod in ipsis c, e, g et ex succedentibus uno intermisso accepti erunt¹⁶ quadrati. Item ipsi d, g et deinceps, binis intermissis, singuli cubi numeri erunt. 30 Demum g et quinis interiectis, semper accepti quadrati simul ac cubi in infinitum sequentur. Cum enim tales numeri ab unitate sint in proportione continua iam ex ultimo corollarium 6^ae huius. ac hic ipse c erit ^tus ipsius b. Similiter e erit ^tus ipsius c. 31 Atque g ^tus ipsius d. Item bc aequabitur producto ex ad hoc est d ipsi per penultimum corollarium 6^ae. Unde per diffinitionem ipse d cubus erit. Et eodem argumento, cum productus ex ce qui cubus est ex diffinitione sit aequalis producto ex a in g hoc est ipsi g iam g cubus erit fuitque quadratus.

[A:22r]

10^a

32 Quod si, qui unitatem sequitur fuerit quadratus, tunc omnes erunt quadrati. Si autem cubus, omnes cubi sequentur. Si vero cubus simul et quadratus, succedent omnes cubi simul ac quadrati singuli.

Nam si seligantur primus, 3^us, 5^us, 7^us ex ordine praemissae descriptionis, constabit per praemissam omnes esse quadratos cum imparium locorum sequentibus. 33 Si autem secernantur primus, 4^us, 7^us 10^us et binis semper intermissis, succedentes; constabit eos omnes esse cubos. Demum si seorsum notentur primus, 7^us 13^us, 19^us et quinis semper abiectis, recepti; certum erit eos singulos esse cubos simul ac quadratos. Et semper continue proportionales. Verum est ergo propositum.

13 februarii

11^a

34 Ratio secundorum quadratorum est sicut laterum quadruplicata.

Patet, quoniam in secundis quadratis, duplicatur ratio primorum, quae laterum dupla est per p^um corollarium 6^ae.