Propositio 87^a

395 Impossibile est binomium alibi quam in suo puncto dividi, servata membrorum diffinitione.

Esto binomium constans ex membris ab maiori bc minori, ut diffinitio exigit. Aio, quod impossibile est ipsum ac binomium alibi quam in puncto b secari³⁴⁰, ut puta in puncto d, ita ut ad dc membra sint ra[C:152r]tionalia et potentialiter tantum commensurabilia. 396 Quod sic constat. Sit binomium ac primum, secundum, quartum, vel quintum; in quo una portionum ab bc rationalis est, et tunc si punctum d fuerit in portione rationali, erit iam portio ad rationalis. Sed dc bimembris: nam constabit ex db rationali et bc potentialiter tantum rationali; non igitur erit dc potentia rationalis, ut postulat binomii diffinitio. 397 Si vero punctum d fuerit in portione bc potentia tantum rationali, cogetur adversarius facere ipsam ad rationalem; unde bd rationalis erit cum ab sit per hypothesim rationalis. Sed bc potentia tantum rationalis, ergo dc residuum, et nequaquam potentia rationalis. Hoc autem pro binomiis primo ac quarto, in quibus portio maior ab rationalis supponitur. Pro secundo autem ac quinto in quibus bc portio minor rationalis supponitur, transferes syllogismum. 398 Pro tertio autem et sexto binomiis, in quibus utraque portio potentialiter tantum rationalis est, sic procedam. [S:156] Ponantur membrorum ab bc quadrata simul sumpta conficere quantitatem ef; duplum autem eius, quod fit ex ab in bc sit quantitas fg. Unde per quartam secundi Elementorum totum eg erit quadratum ipsius ac. Unde, cum ac sit binomium, erit per quinquagesimam octavam huius, eg binomium primum. 399 Itaque si abc binomium suscipit in alio quam b puncto, ut in d, divi[C:152v]sionem; tunc aggregatum quadratorum ad dc sit³⁴¹ eh eritque reliquum hg duplum eius, quod ex ad in dc³⁴². Cumque ex demonstratione quinquagesimae octavae huius eh hg sint membra ipsius³⁴³ eg binomii, sequetur, ut ipsum eg binomium primum secetur in alio quam f puncto; quod dudum impossibile ostensum fuit. Quae demonstratio non solum pro tertio et sexto, sed etiam pro caeteris inservit binomiis.