Propositio 48^a

276 Omnes duae quantitates proportionales duabus quantitatibus quoquo modo commensurabilibus, sunt eodem modo commensurabiles. Et proportionales duabus aliquo modo incommensurabilibus, sunt eodem modo incommensurabiles.

Exempli gratia, sint quantitates ab ipsis cd quantitatibus inter se commensurabilibus proportionales: hoc est sit a ad b sicut c ad d. 277 Aio, quod ab erunt invicem commensurabiles. Nam si cd sunt commensurabiles, erunt per quadragesimam tertiam²⁴⁶ huius, sicut numerus ad numerum. Igitur erit a ad b sicut numerus ad numerum; quare per secundam partem dictae quadragesimae tertiae ab sunt inter se commensurabiles. Quod si cd sint incommensurabiles²⁴⁷, aio, quod et ab inter se incommensurabiles erunt. 278 Nam tunc per Corollarium quadragesimae tertiae huius cd²⁴⁸ non erunt sicut numerus ad numerum, et ideo neque a ad b erit sicut numerus ad numerum: et perinde per secundam partem dicti corollarii ab tunc incommensurabiles inter se erunt sicut proponitur. Item si cd ponantur autem potentia tantum, aut cubo tantum, aut quadrato secundo tantum commensurabiles, eodem penitus modo et ipsae ab commensurabiles erunt. 279 Si autem cd²⁴⁹ [C:132v] aliquo dictorum modorum ponantur incommensurabiles, eodem similiter modo et ipsae ab incommensurabiles erunt. Quoniam scilicet quantitatum proportionalium proportionalia sunt tam quadrata, quam cubi, et quam secunda quadrata. Et idcirco sequitur eorum commensurabilitas, vel incommensurabilitas, quippe quae comitatur proportionem, adducta quadragesima tertia²⁵⁰ et eius corollario.