[S:131] [C:130v]

Propositio 43^a

266 Omnes duae quantitates invicem commensurabiles, sunt sicut numerus ad numerum. Et duae quantitates, quae sunt sicut numerus ad numerum, sunt invicem commensurabiles.

Sunto a et b quantitates invicem commensurabiles. Aio, quod sunt sicut numerus ad numerum. Cum enim commensurabiles sint invicem ab erit per diffinitionem commensurabilium quantitatum communis earum mensura, quae sit c. 267 Itaque a dividetur in aliquot partes singulas aequales ipsi c. Itemque²³³ b dividetur in aliquot partes singulas aequales ipsi c. Quare a et b erunt ad invicem sicut numeri partium. Et haec est prima pars propositi. Contra, sit a quantitas ad b quantitatem, sicut numerus ad numerum. Aio, quod ab commensurabiles invicem sunt. Secetur enim ab singulae in tot partes aequas, quot unitates habent singuli numeri; sitque c una partium quantitatis a eritque c²³⁴ ad a sicut unitas ad numerum partium a. 268 Sed per hypothesim a ad b sicut numerus partium a ad numerum partium b. Erit igitur ex aequali c ad b sicut unitas ad numerum partium b. Quare quoties unitas mensurat numerum [S:132] partium b toties et c quantitas mensurat ipsam b. Sed²³⁵ c metitur etiam²³⁶ ipsam a. Igitur per diffinitionem commensurabilium quantitatum ipsae ab quantitates invicem commensurabiles. Quod fuit residuum propositi. [C:131r]

Corollarium

269 Unde manifestum est, quod duae quantitates invicem incommensurabiles²³⁷ non sunt adinvicem sicut numerus aliquis ad numerum aliquem. Itemque, quod duae magnitudines, quae non sunt ad invicem sicut²³⁸ numerus quispiam ad numerum quempiam, sunt invicem incommensurabiles. Sequuntur haec ex praemissa a destructione contrariorum.