Propositio 31^a

193 Si in uno ordine fuerint quotlibet quantitates continue proportionales, et in secundo ordine quantitates una plures in eadem ratione continue proportionales, ita ut earum differentiae sint quantitatibus primi ordinis singulae singulis aequales, tunc differentiae primae et postremae secundi ordinis aequalis erit aggregato quantitatum primi ordinis.

Ponantur in primo ordine quantitates continue proportionales quot[S:117]vis utputa abcd¹⁸⁷, quibus succedat in eadem proportione ipsa e quinta. 194 Deinde in secundo ordine una plures quantitates scilicet quinque fghkl ita comparatae, ut differentia ipsarum fg sit aequalis ipsi a et differentia ipsarum gh¹⁸⁸ aequalis ipsi b et differentia ipsarum hk¹⁸⁹ aequalis ipsi c et differentia ipsarum kl aequalis ipsi d. Tunc aio, quod differentia ipsarum fl erit aequalis aggregatum ipsarum [C:117v] abcd. Patet propositum, quoniam differentia ipsarum fl extremarum conficitur ex differentiis quatuor mediis, quae per hypothesim sunt aequales ipsis quatuor abcd quantitatibus. Sed suppositis magnitudinibus primi ordinis, sic invenientur magnitudines secundi ordinis. 195 Sit ipsarum ab differentia m et sicut est m ad ipsam a sic sit a ad f et sicut est a ad e sic sit f ad l. Unde sicut ipsis ae intersunt tres mediae proportionales, ita et ipsis fl totidem mediae proportionales in eadem proportione intererunt, quae sint ghk¹⁹⁰. Et, quoniam propter similem proportionem, sicut est a ad f sic est differentia ipsarum ab scilicet m ad differentiam ipsarum fg fuitque et m ad a sicut a ad f, ideo m eandem habebit rationem ad a et ad differentiam ipsarum fg aequalis ergo est a differentiae ipsarum fg. 196 Sed cum differentiae servent continuatam magnitudinum proportionem, propterea tam b differentiae ipsarum gh, quam c differentiae ipsarum hk, quam d differentiae ipsarum kl aequalis erit. Hinc oritur regula progressionis magnitudinum continue proportionalium. Nam ex m et a iam notis notescit f. [C:118r] Deinde ex ae et f nota venit l cuius et ipsius f excessus est aggregatum ipsarum abcd sicut ostensum est.