[C:156r]

Propositio 94^a

421 Omnis irrationalis quantitas, sive de numero sit bimembrium, sive residualium, non solum magnitudine ac potentia irrationalis est, hoc est, quo ad primum quadratum, sed etiam quo ad secundum, quo ad tertium et quo ad sequentia in infinitum quadrata.

Nam, quo ad binomium primum, secundum, quartum et quintum, in quibus una portionum rationalis, reliqua irrationalis est, patet propositum. 422 Cum enim partes sint inter se incommensurabiles³⁶⁹ erit per quadragesimam septimam huius, tam congeries, quam excessus incommensurabilis toti, et perinde totum irrationale; et quoniam excessus incommensurabilis partibus, erit et excessus etiam irrationalis. Quo fit, ut tam binomium, quam residuum primum, secundum, quartum et quintum irrationale sit. 423 Sed pro binomio tertio et sexto, suoque residuo, ac prae caeteris bimembrium, aut residualium generibus sic procedam. Sit a bimediale primum; aio, quod a irrationale est magnitudine. Exponatur enim eius quadratum b quod per quinquagesimam octavam huius, erit binomium secundum; sed binomium secundum dudum irrationale fuit. 424 Igitur a potentia irrationalis est; quare et magnitudine per postremum corollarium quinquagesimae tertiae huius. Et similiter faciam de caeteris generibus tam bimembribus, quam residualibus; [C:156v] loco tamen quinquagesimae octavae adducta sexagesima prima. Quod autem omnis tam bimembris quam residualis [S:161] quantitas sit potentialiter in infinitum irrationalis, constabit sic. Sit³⁷⁰ talis quantitas a eius quadratum b eiusdem quadratum secundum c eius quadratum tertium d et deinceps in infinitum. 425 Quando igitur quantitas a bimembris est, tunc per quinquagesimam octavam b erit binomium, atque c et d caeteraque in infinitum quadrata semper binomia prima. Quae cum³⁷¹ irrationalia sint, constat propositum. Quando vero quantitas a residualis supponitur, tunc per sexagesimam primam b erit residuum. Inde autem c et d et sequentia semper quadrata residua prima et perinde irrationalia; quemadmodum demonstrandum proponitur.