PROPOSITIO XXXIV.

Similes cylindri sunt cubis, qui ex basium diametris proportionales.

Sunto similes cylindri XAIB, et ZCKD, quorum basium diametri AB, CD, sitque sicut cylindricus XAIB ad cylindrum ZCKD, sic cubus AB ad cubum lineae EF per praecedentem: et demonstrandum erit, quod linea EF aequalis erit lineae CD; nam secus erit aut maior, aut minor, si linea EF maior est quam linea CD intelligatur circulus ELF concentricus circulo CKD, et inscribatur circulo ELF, figura multiangula ENF minime tangens circulum CKD, per 13. duodecimi Euclidis. Et ei similis figura AMB inscribatur circulo AIB, et super tales figuras erigantur lateratae columnae QENF, et XAMB ipsis iam cylindricis QELF, XAIB similibus inscriptae; eritque per octavam 12. Euclidis sicut cubus AB ad cubum EF, sic columna XAMB ad columnam QENF, quandoquidem similes sunt columnae, sicut et cylindri; quare sicut columna XAMB ad columnam QENF, sic cylindrus XAIB ad cylindrum ZGKD; et permutatim, sicut columna XAMB ad cylindrum XAIB, sic columna QENF ad [S:20] cylindrum ZCKD; sed maior est cylindrus XAIB, quam columna XAMB, inscripta, per quintum postulatum; ergo et cylindrus ZCKD est maior, quam columna QENF; quod est impossibile per dictum postulatum. Non est ergo maior linea EF, quam linea CD. Si autem minor, tunc conversim erit, sicut cylindricus ZCKD ad cylindrum XAIB, sicut cubus EF ad cubum AB; sit ergo sicut cubus EF ad cubum AB, sic cubus CD ad cubum GH, per praecedentem: eritque sicut cubus CD ad cubum GH, sic cylindrus ZCKD ad cylindrum XAIB; et quoniam CD maior est, quam EF, ideo per 8.12. et 14. quinti, erit GH maior, quam AB. Unde sequitur idem impossibile, ut scilicet cylindri primi ad cylindrum secundum ratio sit, sicut columna diametri primae basis ad columnam lineae maioris diametro secundae basis. Non est ergo minor linea EF, quam linea CD: sed nec maior fuit: aequalis ergo. Et hoc fuit demonstrandum.