PROPOSITIO VI.
Si sphaeroidem figuram duo plana aequidistantia tangant; linea, quae contactuum puncta coniungit, per centrum sphaeroidis incedit.
Sphaeroidem figuram, hoc est sphaeroides solidum ABC tangant duo plana aequidistantia in punctis A, C; et coniungatur linea recta AC. Aio, quod AC linea per centrum sphaeroides incedit. Ponatur enim primo unum punctorum contactuum, [S:250] ut puta B in extremo axis solidi, et tunc per secundum corollarium praecedentis, axis perpendicularis erit plano tangenti apud B; sed planum istud aequidistat plano tangenti apud O.
Ergo per decimam quartam 11. Euclidis axis perpendicularis erit, et plano tangenti apud O; sed per dictum corollarium axis nulli tangentium planorum perpendicularis est, nisi plano apud extremum axis tangenti. Igitur planum tangens apud O, apud extremum axis tangit. Extremum axis coniuncta axis est, et ideo per centrum solidi incedit; quod est propositum. Sed ponatur A contactus non in extremo axis: et tunc ducatur per axem solidi, et per contactum A planum ABC; eritque per decimam sexti praecedentis libelli, facta sectio ellipsis, quae sit ABC, planumque ductum per 3. huius, rectum erit plano tangenti apud A: quare, et rectum erit plano tangenti apud C. (Quoniam tangentia plana supponuntur aequidistare) et ideo per 4. huius ibit per ipsum C contactus punctum; item plani ducti, cum planis tangentibus communes sectiones sint lineae DCE, FAG, quae per decimam sextam 11. Euclidis aequidistantes erunt: et quoniam constitutae sunt in planis tangentibus, ideo extra superficiem solidi; et perinde extra ellipsim ABC cadent, ipsam ABC ellipsim in punctis A, C tangent. Igitur AC linea contactus iungens per vigesimam septimam 2. conicorum elementorum ibit per centrum ellipsis ABC, hoc est per medium axis in ea ellipsi existentis, per ipsum videlicet solidi ABC centrum: sicut proponebatur demonstrandum.
SCHOLIUM.
Plana, quae tangunt figuram sphaeroidem hinc, et inde in extremis lineae per solidi centrum ductae, sunt aequidistantia.
In eadem enim descriptione, si linea per centrum solidi ducta sit axis ipse solidi; tunc per 2. corollarium quartae huius, perpendicularis est axis utrique tangentium planorum: quare per 14. undecimi Euclidis aequidistantia sunt tangentia plana. Si autem linea per centrum solidi ducta sit alia, quam axis: tunc quoniam linea ducta axis, et puncta contactuum sunt in eodem plano: ideo per 3. huius, tale planum rectum erit utrique tangentium planorum: quamobrem necesse est plana ipsa tangentia esse aequidistantia. Quod erat demonstrandum.