• Varietà lisce. Partizioni dell'unità. Spazio tangente. Differenziale. Immersioni, embedding e sottovarietà. Fibrati vettoriali. Fibrato tangente e cotangente. Fibrati tensoriali. Sezioni di fibrati e campi vettoriali. Parentesi di Lie. Orientabilità. Foliazioni. Intorno tubolare. Omotopia e isotopia. Trasversalità. Teoremi di immersione e embedding di Whitney.
• Forme differenziali. Differenziale esterno. Integrazione. Teorema di Stokes. Coomologia di de Rham. Successione di Mayer-Vietoris. Dualità di Poincaré. Teorema di Kunneth (senza dimostrazione).
• Varietà pseudo-Riemanniane. Connessioni. Derivata covariante lungo una curva. Trasporto parallelo. Connessione di Levi-Civita. Geodetiche. Mappa esponenziale. Intorni normali. Lunghezza di una curva. Le geodetiche sono le curve localmente minimizzanti. Lemma di Gauss. Teorema di Hopf-Rinow. Curvature Riemanniana, sezionale e di Ricci.
• Gruppi di Lie. Algebre di Lie.

Prerequisiti:

I corsi obbligatori della laurea triennale. Saranno fondamentali in particolare l'analisi in piu' variabili e la topologia. E' fortemente consigliato, ma non necessario, aver gia' seguito il corso di Geometria e Topologia Differenziale.

Lezioni:

Le lezioni si svolgono interamente in presenza, con questi orari:

• Martedi' 11-13 in Aula P1
• Mercoledi' 9-11 in Aula P1
• Giovedi' 14-16 in Aula P1

Il registro delle lezioni e' consultabile qui.

Bibliografia:

• Note sul corso che prima o poi si trasformeranno in un libro. Le note sono nella versione finale. Per favore segnalatemi via email gli errori che sono sicuramente presenti, che siano di matematica o semplici errori ortografici. Grazie.

• R. Bott, L. W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology.
• M. Do Carmo, Riemannian Geometry.
• O' Neill, Semi-Riemannian geometry with applications to Relativity.

Esame:

L'esame prevede uno scritto e un orale. L'orale e' approfondito e su tutto il programma.

Esercizi a casa:

La/o studente puo' decidere di svolgere degli esercizi a casa al posto dello scritto, nel modo seguente. Il venerdì di ogni settimana vengono messi in questa pagina degli esercizi.

• Esercizi settimanali (questo file viene aggiornato il venerdì di ogni settimana).

Alcune regole e osservazioni:

A. Gli esercizi a casa servono per due scopi: 1) Allenarsi continuamente e quindi seguire meglio il corso, che contiene tanta teoria. 2) Imparare a comunicare la matematica. Verra' valutata molto la chiarezza di esposizione. In particolare non verranno corretti esercizi poco o faticosamente leggibili. Considerate che il docente e i suoi collaboratori correggeranno circa 60 * 12 * 3 > 2000 esercizi e non possono impiegare il loro tempo per decifrare geroglifici. Si prega di tenere questo punto in seria considerazione.

B. Questo canale è riservato a chi segue il corso. Non voglio essere troppo formale su cosa voglia dire "seguire il corso": vuol dire seguire le lezioni e studiare con regolarità. I compitini andranno consegnati a mano al docente durante la lezione. Possono essere scritti sia a mano che in LateX. Gli esercizi mandati via mail sono accettati solo in casi eccezionali e ben motivati.

C. E' lecito e perfino consigliato svolgere gli esercizi in gruppo, consultare libri e appunti trovati in rete. In questo caso dovete però scrivere chi vi ha aiutato e quali fonti avete utilzzato. In ogni caso lo/a studente deve aver pensato autonomamente al problema, aver ben assimilato la soluzione e scriverla con parole sue: la risoluzione puo' essere collettiva, ma la scrittura deve essere individuale.

D. I compitini corretti vengono riconsegnati dal docente a lezione. Verra' scritto anche un voto (O = Ottimo, MB = Molto Buono, B = Buono, D = Discreto, S = Sufficiente, I = Insufficiente). Chi prende insufficiente perde il diritto a questo canale. Gli altri voti non avranno nessuna conseguenza sul voto dell'esame finale: servono solo per permettere alla/o studente di migliorarsi.

E. Questo canale può essere usato una volta sola, quindi chi ha consegnato gli esercizi fino in fondo in uno degli anni passati non può partecipare. Se interrompete le consegne prima della fine allora potete ricominciare l'anno seguente.

F. Chi ha fatto i compitini (senza mai prendere una insufficienza) può fare l'orale in una delle sessioni estive e autunnali, fino a settembre incluso. Dovra' iscriversi all'orale (non allo scritto) sulla pagina web di iscrizione agli esami.

G. Chi non passa l'orale o rifiuta il voto poi deve fare lo scritto (piu' in generale, perde qualsiasi privilegio dovuto al fatto di aver fatto gli esercizi a casa).

Le consegne sono le seguenti:

• Entro giovedì 27 marzo andranno consegnati 3+3+3=9 esercizi delle prime 3 settimane, cioe' del 28 febbraio, 7 e 14 marzo
• Entro giovedì 17 aprile andranno consegnati 3+3+3=9 esercizi delle seconde 3 settimane, cioe' del 21, 28 marzo e 4 aprile
• Entro giovedì 15 maggio andranno consegnati 3+3+3=9 esercizi delle terze 3 settimane, cioe' dell' 11, 18 aprile e 2 maggio
• Entro giovedì 5 giugno andranno consegnati 3+3+3=9 esercizi delle ultime 3 settimane, cioe' del 9, 16, 23 maggio.

Esami:

Durante il compito scritto la/o studente non puo' consultare libri ne' appunti.

Chi fa lo scritto si deve iscrivere solo allo scritto, non all'orale.

Fate attenzione alla scadenza per le iscrizioni, che puo' essere 4/5 giorni prima dell'esame.

Chi ha fatto gli esercizi a casa puo' fare l'orale in una delle sessioni, fino a settembre incluso. Dovra' iscriversi all'orale (non allo scritto) sulla pagina web di iscrizione agli esami.

Chi fa il compito deve fare l'orale nello stesso appello del compito.

Avvisi: