Programma indicativo:

• Varieta' lisce. Partizioni dell'unita'. Spazio tangente. Differenziale. Immersioni, embedding e sottovarieta'. Fibrati vettoriali. Fibrato tangente e cotangente. Fibrati tensoriali. Sezioni di fibrati e campi vettoriali. Parentesi di Lie. Orientabilita'. Foliazioni. Intorno tubolare. Omotopia e isotopia. Trasversalita'. Embedding di Whitney.
• Forme differenziali. Differenziale esterno. Integrazione. Teorema di Stokes. Coomologia di de Rham. Successione di Mayer-Vietoris. Dualita' di Poincare'. Teorema di Kunneth (senza dimostrazione).
• Varieta' riemanniane. Connessioni su fibrati. Derivata covariante lungo una curva. Sezioni parallele e trasporto parallelo. Connessione di Levi-Civita. Geodetiche. Mappa esponenziale. Intorni normali e uniformemente normali. Lunghezza di una curva. Le geodetiche sono le curve localmente minimizzanti. Lemma di Gauss. Teorema di Hopf-Rinow. Curvature Riemanniana, sezionale e di Ricci.
• Gruppi di Lie. Algebre di Lie.

Prerequisiti:

I corsi obbligatori della laurea triennale. Saranno fondamentali in particolare l'analisi in piu' variabili e la topologia. E' consigliato, ma non necessario, aver gia' seguito il corso di Geometria e Topologia Differenziale.

Bibliografia:

• Note sul corso che prima o poi si trasformeranno in un libro. PER FAVORE segnalatemi via email gli errori che sono sicuramente presenti, che siano di matematica o semplici errori ortografici. Grazie.

• R. Bott, L. W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology.
• M. Do Carmo, Riemannian Geometry.
• J. Lee, Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature.

Esame:

L'esame prevede uno scritto e un orale. L'orale e' approfondito e su tutto il programma.

Compitini:

Lo/a studente puo' decidere di svolgere dei compitini a casa al posto dello scritto, nel modo seguente. Il sabato di ogni settimana vengono messi in questa pagina degli esercizi.

• Esercizi settimanali (questo file viene aggiornato il sabato di ogni settimana).

Alcune regole:

A. Verra' valutata anche la chiarezza di esposizione. In particolare non verranno corretti esercizi poco o faticosamente leggibili.

B. Questo canale è riservato a chi segue il corso. Non voglio essere troppo formale su cosa voglia dire "seguire il corso": vuol dire venire spesso a lezione e studiare con una certa regolarità.

C. E' lecito chiedere aiuto ad altri e consultare libri e appunti trovati in rete. In questo caso dovete pero' scrivere chi vi ha aiutato e quali fonti avete utilzzato. In ogni caso lo/a studente deve aver ben assimilato la soluzione e scriverla con parole sue.

Le consegne sono le seguenti:

• Entro martedi 2 aprile andranno consegnati 3+3+3=9 esercizi delle prime 3 settimane (che finiscono i giorni 1, 8 e 15 marzo).
• Le consegne successive compariranno dopo (ce ne sara' una ogni 3 settimane, tendenzialmente 17 giorni dopo il terzo sabato).

Compiti scritti:

Durante il compito scritto la/o studente non puo' consultare libri ne' appunti. Chi ha fatto i compitini puo' fare l'orale in una delle sessioni descritte, fino a settembre incluso. Dovra' iscriversi all'orale (non allo scritto) sulla pagina web di iscrizione agli esami.

L'iscrizione ad uno scritto annulla automaticamente i compitini. Se vi siete iscritti per sbaglio scrivetemi.

Chi fa il compito deve fare l'orale nella stessa sessione del compito.

Compiti passati:

• Compito 1 anno 2017
• Compito 2 anno 2017
• Compito 3 anno 2017
• Compito 4 anno 2017 (la data e' sbagliata)
• Compito 5 anno 2017
• Compito 1 anno 2018
• Compito 2 anno 2018

Lezioni:

• Martedi' 11-13 in aula N,
• Giovedi' 14-16 in aula N,
• Venerdi' 14-16 in aula N.

Il registro delle lezioni e' consultabile qui.